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하겐-푸아죄유 법칙

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1. 개요2. 정의
2.1. 유도

1. 개요[편집]

독일의 물리학자 고틀리프 하겐과 프랑스의 물리학자 장 푸아죄유가 압력과 뉴턴 유체의 부피 유속에 관한 상관관계를 설명하기 위해 1840년에 발표한 법칙이다.

2. 정의[편집]

원통형 계에서 뉴턴 유체의 흐름이 층류임을 가정할 때 뉴턴유체의 부피 유속 QQ는 다음과 같다.

Q=πr48η∂P∂x\displaystyle Q=\dfrac{πr^4}{8η}\dfrac{\partial P}{\partial x}


좀더 쉬운 표현으로 쓰자면,

ΔP=8ηLQπr4\displaystyle ΔP=\dfrac{8ηLQ}{πr^4}


∂P\partial P는 압력 변화량, ηη는 유체 점성 밀도이다.
길이 AB, 반지름이 r인 원통을 가정하자. 원통 양끝에 적용되는 압력 차이가 P±∂P∂xΔxP \pm \frac{\partial P}{\partial x}Δx로 쓸수 있음을 상기하자, 계산 편의상 길이 AB를 L이라고 한다.

위치 A에서의 유체 압력은 PA=P+∂P∂LΔL2\displaystyle P_A=P+\frac{\partial P}{\partial L}\frac{ΔL}{2},

위치 B에서의 유체 압력은 PB=P−∂P∂LΔL2\displaystyle P_B=P-\frac{\partial P}{\partial L}\frac{ΔL}{2}.

원통 내부에서의 힘의 평형은,
PAΔA−PBΔA+Fshear=0P_{A}ΔA-P_{B}ΔA+F_{shear}=0 이므로,[1]

(P+∂P∂LΔL2)ΔA−(P−∂P∂LΔL2)ΔA+τΔA’=0.\displaystyle (P+\frac{\partial P}{\partial L}\frac{ΔL}{2})ΔA-(P-\frac{\partial P}{\partial L}\frac{ΔL}{2})ΔA+τΔA’=0.

∂P∂LΔL(πr2)+τ(2πrΔL)=0\dfrac{\partial P}{\partial L}ΔL(πr^2)+τ(2πrΔL)=0, r∂P∂L=2τ\displaystyle r\frac{\partial P}{\partial L} = 2τ.

아래의 뉴턴 점성 법칙을 상기하면,
τ=ηdudr\displaystyle τ=η\dfrac{du}{dr},

dudr=r2η∂P∂L\displaystyle \frac{du}{dr}=\frac{r}{2η}\frac{\partial P}{\partial L}

∫du=∫r2η∂P∂Ldr\displaystyle \int du = \int \frac{r}{2η}\frac{\partial P}{\partial L}dr, u=R2−r24η∂P∂L\displaystyle u=\frac{R^{2}-r^2}{4η}\frac{\partial P}{\partial L}.

아래의 유속의 정의에 의해서,
u=QA,Q=∫udA\displaystyle u= \frac{Q}{A}, Q=\int u dA

Q=∫0RR2−r24η∂P∂L2πrdr\displaystyle Q=\int_{0}^{R} \frac{R^{2}-r^2}{4η}\frac{\partial P}{\partial L}2πrdr.

Q=2π4η∂P∂L∫0R(rR2−r3)dr\displaystyle Q=\frac{2π}{4η}\frac{\partial P}{\partial L}\int_{0}^{R} (rR^{2}-r^3)dr.

Q=π2η∂P∂Lr2R24−r44\displaystyle Q=\frac{π}{2η}\frac{\partial P}{\partial L}\frac{r^{2}R^{2}}{4}-\frac{r^4}{4}.

Q=πr48η∂P∂x\displaystyle Q=\dfrac{πr^4}{8η}\dfrac{\partial P}{\partial x}가 정의된다.



[1] 여기서 A는 미소환상면적이다.

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