스토크스 법칙

영국의 물리학자이자 수학자 조지 가브리엘 스토크스 경(Stokes, Sir George Gabriel)이 제안한 입자의 침강속도와 관련한 법칙으로 유체(물과 같은 매질)속에서 입자가 가라앉을 때 그 속도는 입자 지름의 제곱에 비례한다는 법칙이다. 따라서 입자가 크고 밀도가 높을수록 침전 속도가 빨라짐을 나타낸다. 입자의 침강속도에 대하여 뿐만아니라 반대방향에서 역으로 부상속도 식으로도 사용된다. 스토크스 법칙은 스토크스 식이라고도 한다.

물리학에서 점성을 가지는 ‘매질’ 속을 움직이는 ‘구체’ 가 받는 저항에 대한 스토크스 침강법칙(Stokes沈降法則)으로부터 구형입자(구체)의 크기(밀도)와 속도를 통해 매질의 ‘점성’을 조사할 수 있게 되는데 이러한 사실로부터 동일한 매질을 가정하고 특정 대상 입자의 밀도와 침강속도가 같은 구형입자를 가리켜 스토크스 입자라고 한다.

힘의 평형관계식으로부터의 스토크스(Stokes) 침강속도식
항력(Fd,drag force) = ${{1}\over{2}} \rho v^2 A C_D$ (1)
$v$(속도),$\rho$(밀도) , A(단면적) ,
층류영역에서의 구형입자 항력계수(C_D) 는 $C_D = {{24}\over{Re(레이놀즈 수)}}$ (2)
레이놀즈 수(Re) = ${{Dv\rho}\over{\mu}}$ (3)
V(부피),$\rho$(밀도) ,$\mu$(점성계수)
부력(Fb,buoyancy) = $\rho V g$ (4)
V(부피),$\rho$(밀도) ,g(중력가속도)
힘의 평형관계식
중력(Fg) = 부력(Fb) + 항력(Fd) (5)를 구형입자에 작용하는 세가지 힘이 균형을 이루어 침강하는 속도(종말속도)라고 가정해볼때
구형(sphere) 입자의 부피(V)는 $\displaystyle{{\pi}\over{6}} D^3$ 이고 그 단면적(A)은 원의 넓이(면적) $\displaystyle{{\pi}\over{4}}D^2$이므로
부력(Fb)$=\rho V g = \rho_1 \displaystyle{{\pi}\over{6}} D^3 g$ ,중력(Fg)$=\rho V g = \rho_2 \displaystyle{{\pi}\over{6}} D^3 g$ 이고
구형입자에서의 항력(Fd)은 (1)에 (2)와 (3)을 대입하여 정리하면
$Fd = {{1}\over{2}} \rho v^2 \left( \displaystyle{{\pi}\over{4}}D^2 \right) \displaystyle{{24}\over{{{Dv\rho}\over{\mu}}}} = 3 \pi \mu D v$
이제 힘의 평형식(5)에 대입하여 정리하면
$\left( \rho_2 \displaystyle{{\pi}\over{6}} D^3 g \right) = \left( \rho_1 \displaystyle{{\pi}\over{6}} D^3 g \right) + \left( 3 \pi \mu D v \right)$
$\left( 3 \pi \mu D v \right) = \left( \rho_2 \displaystyle{{\pi}\over{6}} D^3 g \right) - \left( \rho_1 \displaystyle{{\pi}\over{6}} D^3 g \right)$
$3 \pi \mu D v = \left( \rho_2 - \rho_1 \right) \displaystyle{{\pi}\over{6}} D^3 g$
$v = \left( \rho_2 - \rho_1 \right) \displaystyle{{D^2}\over{18\mu}} g$
$v_s = \displaystyle{{D^2\left( \rho_2 - \rho_1 \right)g}\over{18\mu}}$

침전탱크에서 직경이 0.1cm이고 비중이 2.4인 입자가 침강한다. 이 때 이 입자의 침강속도를 조사하시오.
(단 스토크스 법칙을 적용하고 이때 물의 점도는 0.01 g/cm·sec, 물의 비중은 1이다.)
$침강속도(V_s) = \displaystyle{{D^2 (\rho_2 -\rho_1) g}\over{18 \mu}}$
$\dfrac{9.8(2.4-1)0.1^2}{18\cdot 0.01} = 0.762cm/s$

기존에 알려져있거나 실측가능한 동일한 매질을 가정하고 특정 대상 입자의 밀도와 침강속도가 같은 구형입자를 가리켜 스토크스 입자라고 하고 이러한 스토크스 입자의 직경을 특정대상입자의 밀도와 침강속도로 간주할수있다. 이 경우 이러한 스토크스 직경을 사용해 특정대상을 간접적으로나마 쉽게 다루어볼수있다.

스토크스 직경이 이미 잘 알려진 입자로 부터 특정 입자의 속성을 다루게 해준다면 보다 정확도를 높이기 위해 스토크스 직경에서 밀도를 공기역학적으로 고정해$(1g/cm^3)$ 침강속도만을 변수로 다루어 공기역학적 직경을 얻을수있다.
이러한 공기역학적 직경은 미세먼지의 크기를 결정하는것과 같은 광범위한 불특정 입자를 보다 쉽고 비교적 정확하게 다룰수있도록 해준다.