(Go: >> BACK << -|- >> HOME <<)
최근 변경 최근 토론
특수 기능

연속 방정식

최근 수정 시각:
편집
현재 사용중인 아이피가 ACL그룹 IDC #12915에 있기 때문에 편집 권한이 부족합니다.
만료일 : 무기한
사유 : IDC(AS26496)
토론 역사
분류
열역학 · 통계역학
[ 펼치기 · 접기 ]
기본 개념
열역학 법칙{열역학 제1법칙(열역학 과정) · 열역학 제2법칙(엔트로피)} · 질량 보존 법칙 · 에너지 · 물질 · 온도(절대영도) · 압력 · 열(비열 · 열용량) · 일(일률) · 계(반응계 · 고립계) · 상 · 밀도 · 기체 법칙{보일 법칙 · 샤를 법칙 · 게이뤼삭 법칙 · 아보가드로 법칙 · 이상 기체 법칙(이상 기체)} · 기체 분자 운동론
통계​역학
앙상블 · 분배함수 · 맥스웰-볼츠만 분포 · 페르미-디랙 분포 · 보스-아인슈타인 분포 · 맥스웰-볼츠만 통계 · 페르미-디랙 통계 · 보스-아인슈타인 통계 · 페르미온 응집 · 보스-아인슈타인 응집 · 복잡계(카오스 이론) · 흑체복사 · 브라운 운동 · 역온도 · 위상 공간
열역학 퍼텐셜
내부 에너지 · 엔탈피 · 자유 에너지(헬름홀츠 자유 에너지 · 깁스 자유 에너지) · 란다우 퍼텐셜 · 르장드르 변환
응용 및 현상
현상
가역성 · 화학 퍼텐셜 · 상전이 · 열전달{전도(열전도율 · 전도체) · 대류 · 복사} · 판데르발스 힘 · 열처리 · 열량(칼로리) · 네른스트 식 · 물리화학 둘러보기
내연기관 · 외연기관 · 열효율(엑서지) · 열교환기(히트펌프) · 카르노 기관 · 영구기관 · 열전 소자
기타 문서
화학 둘러보기 · 스털링 근사 · 전자친화도 · 이온화 에너지 · 응집물질물리학 · 고체물리학 · 기계공학 · 화학공학 · 정보이론 · 맥스웰의 악마 · 볼츠만 두뇌 · 에르고딕 가설미해결 · 브라질 땅콩 효과미해결
유체역학
Fluid Mechanics
[ 펼치기 · 접기 ]
유체와 힘
유체 · 뉴턴 유체 · 비뉴턴 유체(멱법칙 유체 · 오스트발트-드 웰 관계식 · 허쉘-버클리 유체 · 리-아이링 이론) · 압력 · 부력 (아르키메데스의 원리) · 항력 (수직항력 · 스토크스 법칙) · 응력 · 양력 · 표면장력 · 상 · 밀도 · 기체 법칙 (이상 기체 법칙) · 달랑베르의 역설
유체동역학
유동 (압축성 · 탄성 · 점성/점성계수) · 난류 및 층류 · 레이놀즈 수송 정리 (체적 검사)
무차원수
마하 수 · 레이놀즈 수 · 프란틀 수 · 레일리 수 · 그라스호프 수 · 슈미트 수 · 네버러 수 · 프루드 수
방정식
나비에-스토크스 방정식 · 연속 방정식 · 오일러 방정식 · 구성 방정식 · 베르누이 방정식 · 파스칼의 원리 · 브라운 운동 방정식 · 하겐-푸아죄유 법칙 · 글래드스톤-데일 방정식
응용 및 현상
날씨 · 모세관 현상 · 마그누스 효과 · 케이 효과 · 카르만 효과 · 사이펀의 원리 · 대류 현상 · 슬립 스트림 · 최대동압점 · 스탈링 방정식 · 벤추리 효과 · 레인-엠든 방정식 · 엠든-찬드라세카르 방정식 · 라이덴프로스트 효과
유체역학 연구
전산유체역학(CFD) · 풍동 실험 · 차원분석
전자기학
Electromagnetism
[ 펼치기 · 접기 ]
기초 개념
관련 수학 이론
∇\boldsymbol{\nabla} · 디랙 델타 함수 · 연속 방정식 · 분리 벡터
전기 · 자기
개념
전자기력 · 전자기 유도(패러데이 법칙) · 맥스웰 방정식 · 전자기파 · 포인팅 벡터 · 전자기학의 경계치 문제 · 전자기파 방사
정전기학
전하 · 전기장 · 전기 변위장 · 전기 퍼텐셜 · 가우스 법칙 · 전기 쌍극자 모멘트 · 유전율 · 대전현상 · 정전용량 · 시정수 · 정전기 방전
정자기학
자성 · 자기장 · 자기장 세기 · 자기 퍼텐셜 · 자기 쌍극자 모멘트 · 로런츠 힘 · 홀 효과 · 비오-사바르 법칙 · 앙페르 법칙 · 투자율
구현체
자석(전자석) · 발전기 · 전동기
회로이론 · 전자회로
개념
회로 기호도 · 전류 · 전압 · 전기 저항(비저항 · 전기 전도도) · 전력(전력량) · 직류 · 교류 · 키르히호프의 법칙 · 중첩의 원리 · 삼상
소자
수동소자: 직류회로(휘트스톤 브릿지) · RLC회로(커패시터 · 인덕터 · 레지스터), 변압기
능동소자: 전원 · 다이오드 · 트랜지스터 · 연산 증폭기
응용 및 심화개념
관련 학문
상대론적 전자기학 · 양자 전기역학 · 응집물질물리학 · 고체물리학 · 전자공학 · 전기공학 · 제어공학 · 물리화학 · 광학 · 컴퓨터 과학(컴퓨터 공학)
토픽
이론
광자 · 게이지 장(역장 · 장이론) · 물질파(광전효과) · 다중극 전개 · 맥스웰 변형 텐서 · 방사선 · 반도체 · 전기음성도 · 와전류 · 방전 · 자극 · 표피효과 · 동축 케이블
음향
앰프(파워앰프 · 프리앰프 · 인티앰프 · 진공관 앰프) · 데시벨 · 네퍼
열
반 데르 발스 힘(분산력) · 복사 · 전도(전도체 · 열전 효과) · 초전도체 · 네른스트 식
광학
굴절(굴절률 · 페르마의 원리) · 스넬의 법칙 · 산란 · 회절 · 전반사 · 수차(색수차) · 편광 · 분광학 · 스펙트럼 · 렌즈(얇은 렌즈 방정식) · 프리즘 · 거울(구면 거울 방정식) · 색(색의 종류 · RGB)
전산
논리 연산 · 논리 회로 · 오토마타(프로그래밍 언어) · 임베디드 · 컴퓨터 그래픽스(랜더링) · 폴리곤 · 헥스코드
생물
생체신호(생체전기 · BCI) · 신경계(막전위 · 활동전위 · 능동수송) · 신호전달 · 자극(생리학)(베버의 법칙 · 역치)
관련 문서
물리학 관련 정보 · 틀:전기전자공학 · 전기·전자 관련 정보 · 틀:이론 컴퓨터 과학 · 틀:컴퓨터공학
1. 개요
1.1. 연속 방정식의 일반형
2. 유체역학에서의 연속 방정식
2.1. 질량에 대한 연속 방정식
2.1.1. 유도2.1.2. 비압축성 유체
2.2. 운동량에 대한 연속 방정식
3. 전자기학에서의 연속 방정식
3.1. 전하에 대한 연속 방정식3.2. 에너지에 대한 연속 방정식
4. 확산⋅열에 대한 연속 방정식5. 관련 문서

1. 개요[편집]

連續 方程式 / continuity equation

어떤 물리량이 보존되는 상태로 이송되는 것을 기술하는 방정식이다. 어느 구간에서 자신이 원하는 양이 얼마나 들어가고 빠지는지를 나타내기 위해서 쓰는데, 그래서 아무것도 변하지 않는다고 하는 보존법칙들을 기술하기 위해서도 이 법칙이 요긴하게 쓰인다.

1.1. 연속 방정식의 일반형[편집]

어떤 물리량 q\displaystyle q에 대해 일반적으로 연속 방정식은 다음과 같이 표현된다.


ddt∭Vρq(r, t)d3r=−∯∂VJq(r, t)⋅da+∭Vsq(r, t)d3r\displaystyle \frac{d}{d t} \iiint_{V} \rho_{q} (\mathbf{r},\, t ) d^{3} r = - \oiint_{\partial V} \mathbf{J}_{q} (\mathbf{r},\, t ) \cdot d \mathbf{a} + \iiint_{V} s_{q} (\mathbf{r},\, t ) d^{3} r


여기서 ρq,Jq,sq\displaystyle \rho_{q}, \mathbf{J}_{q}, s_{q}는 각각 단위 부피당 q\displaystyle q, 단위 시간당 단위 면적을 통한 q\displaystyle q의 흐름, (외부 공급 장치 등에 의한) 단위 부피당 q\displaystyle q의 직접 공급을 뜻한다.

이로부터 위 식의 좌변은 단위 시간당 어떤 영역 V\displaystyle \boldsymbol V 내의 q\displaystyle \boldsymbol q의 (시간에 따른) 변화율, 우변의 첫째 항과 둘째 항은 각각 영역 V\displaystyle \boldsymbol V의 경계면을 통해 단위 시간당 유입되는 q\displaystyle \boldsymbol q의 양, (외부 공급 장치 등을 이용한) q\displaystyle \boldsymbol q의 직접적인 공급을 의미한다.

위 식에 발산 정리를 적용하여 정리하면 다음과 같이 연속 방정식의 미분형이 유도된다.


∂ρq∂t+∇⋅Jq=sq(r, t) \displaystyle \frac{\partial \rho_{q}}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{J}_{q} = s_{q} ( \mathbf{r},\, t )

2. 유체역학에서의 연속 방정식[편집]

2.1. 질량에 대한 연속 방정식[편집]

유체가 흐를 때 질량이 보존됨을 표현하는 방정식이다. 어떤 폐곡면으로 둘러싸인 영역 내부의 유체 질량은 폐곡면을 통해 출입하는 유량에 따라 변한다는 것을 표현한다.


∂ρ∂t+∇⋅(ρu)=0 \displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla} \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0

밀도가 ρ\displaystyle \rho인 유체가 어떤 폐곡면 S\displaystyle S를 출입하는 상황을 생각해보자. 이 상황은 다음과 같은 방정식으로 묘사된다.


∂∂t∭Vρ d3r=−∯Sρu⋅da \displaystyle \frac{\partial}{\partial t} \iiint_{V} \rho\, d^3 r = -\oiint_{S} \rho \mathbf{u} \cdot d \mathbf{a}


여기서 VV는 폐곡면 SS로 둘러싸인 영역이다. 좌변은 폐곡면으로 둘러싸인 영역 내부의 있는 유체가 갖는 질량의 변화량, 우변은 단위 시간당 폐곡면 내로 유입되는 유체의 질량을 의미한다.

위 방정식의 우변에 발산 정리를 적용하여 정리하면 다음과 같이 질량에 대한 연속 방정식을 얻는다.


∂ρ∂t+∇⋅(ρu)=0 \displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla} \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0

2.1.2. 비압축성 유체[편집]

비압축성이면 ρ\rho가 상수이니

∇⋅u=0 \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{u} = 0

또는

∯∂Vu⋅da=0 \displaystyle \oiint_{\partial V} \mathbf{u} \cdot d\mathbf{a} = 0

가 된다. 후자를 파이프 같이 단순한 유체 흐름의 상황에 적용하면 아주 간단한 형태가 된다.

A1u1=A2u2 \displaystyle A_1\mathbf{u}_1 = A_2\mathbf{u}_2

2.2. 운동량에 대한 연속 방정식[편집]

상세 내용 아이콘   자세한 내용은 오일러 방정식 문서
를
의 번 문단을
의 부분을
참고하십시오.

3. 전자기학에서의 연속 방정식[편집]

3.1. 전하에 대한 연속 방정식[편집]

상세 내용 아이콘   자세한 내용은 전류 문서
를
의 번 문단을
의 부분을
참고하십시오.

3.2. 에너지에 대한 연속 방정식[편집]

상세 내용 아이콘   자세한 내용은 포인팅 벡터 문서
를
의 번 문단을
의 부분을
참고하십시오.

4. 확산⋅열에 대한 연속 방정식[편집]

열의 밀도를 uu, 에너지 선속을 q\mathbf{q}라 하고, 마찰력 등으로 인한 내부 열 생성은 없다고 가정하면,

∂u∂t+∇⋅q=0\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{q} = 0

열이 아니라 물질에 적용해도 수학적으로 똑같다. ϕ\phi를 물질의 밀도 (단위는 mol/m^3), J\mathbf{J}를 물질의 확산 선속 (단위는 mol/m^2/sec)이라 하면,

∂ϕ∂t+∇⋅J=0\displaystyle \frac{\partial \phi}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{J} = 0

이 둘은 각각 푸리에의 법칙과 픽의 1 법칙과 연계하면 열 방정식과 확산 방정식으로 이어진다. 이 두 방정식 역시 수학적으로 동일.

5. 관련 문서[편집]

크리에이티브 커먼즈 라이선스
이 저작물은 CC BY-NC-SA 2.0 KR에 따라 이용할 수 있습니다. (단, 라이선스가 명시된 일부 문서 및 삽화 제외)
기여하신 문서의 저작권은 각 기여자에게 있으며, 각 기여자는 기여하신 부분의 저작권을 갖습니다.

나무위키는 백과사전이 아니며 검증되지 않았거나, 편향적이거나, 잘못된 서술이 있을 수 있습니다.
나무위키는 위키위키입니다. 여러분이 직접 문서를 고칠 수 있으며, 다른 사람의 의견을 원할 경우 직접 토론을 발제할 수 있습니다.

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
더 보기