범주(범주론)

범주(範疇, category)는 범주론에서 다루는 기본 대상이다. 위상수학, 군론 같은 수학의 다양한 분야에서 공통적인 부분을 찾아서 추상화한 개념으로[1], 고도로 추상적인 개념이다.

범주 $\mathcal{C}$는 대상의 모임과 사상의 모임, 사상의 합성 연산으로 이루어진다. 모임(class, collection, family 등)이라고 했지 집합이라고 단정짓지는 않았다는 점을 잊어서는 안된다.

위 조건들을 만족한다면 그 어떤 것도 범주로 잘 정의된다. 관례적으로 범주를 표기할 때에는 대상의 명칭이나 사상이 갖는 성질을 적당히 축약한 이름으로 짓는 암묵의 룰이 있다. 예를 들어 집합을 대상으로 갖는 $\bf{Set}$[8], 군을 대상으로 갖는 $\bf{Grp}$, 위상공간을 대상으로 갖는 $\bf{Top}$, 가측공간을 대상으로 갖는 $\textsf{Meas}$, R-가군을 대상으로 갖는 $\textsf{Mod}_\textsf{R}$, 아벨군을 대상으로 갖는 $\textsf{Ab}$, 그래프를 대상으로 갖는 $\textsf{Graph}$, 부분순서집합을 대상으로 갖는 $\textsf{Poset}$ 등의 범주를 생각할 수 있다. 이 때 범주 이름을 표기하면서는 볼드체, 필기체, 산세리프, 코믹산스(...) 등 다른 글씨와는 확연히 구별되는 폰트로 표기하는 암묵의 룰이 있다.

대상이 '집합'이고 사상은 '대상 집합 간의 함수'인 범주들을 구체적 범주(concrete category)으로 총칭한다.

사상을 많아봤자 집합의 기수만큼만 갖는, 즉 $\mathrm{ob}(\mathcal{C})$와 $\mathrm{mor}(\mathcal{C})$가 제각기 모두 집합[9]인 범주 $\mathcal{C}$를 작은 범주(small category)라 한다. 아울러, 작은 범주보다 약한 조건으로, 임의의 두 대상 사이에 정의되는 사상이 많아야 집합의 기수만큼만 존재하는 범주는 국소적으로 작은 범주(locally small category)라 한다.

어떤 범주 $\mathcal{C}$의 부분범주 $\mathcal{D}$는, $\mathrm{ob}(\mathcal{C})$에 포함되는 부분모임 $\mathrm{ob}(\mathcal{D})$와 $\mathrm{mor}(\mathcal{C})$에 포함되는 부분모임 $\mathrm{mor}(\mathcal{D})$를 가지며, $\mathrm{ob}(\mathcal{D})$와 $\mathrm{mor}(\mathcal{D})$에 대하여 항등사상, 합성 결합법칙 등 범주로서의 조건이 모두 잘 정의되는 경우를 말한다. 이들 역시 부분집합마냥 포함관계를 나타낼 수 있다. 예를 들어 $1_R$을 갖는 가환환의 범주, $1_R$을 갖는 환의 범주, $1_R$을 안 가져도 되는 환의 범주에 대하여 $\textsf{CRing}\subset \textsf{Ring} \subset \textsf{Rng}$이라 표기할 수 있다.

사상 $f:x\to y$에 대하여, 만약 두 사상 $α, β:w\rightrightarrows x$가 $f\circ α=f\circ β$일 경우 $α=β$임이 성립하면 사상 $f$는 단사사상 내지는 모닉사상(monomorphism)이라 칭한다. 그리고, 사상 $f:x\to y$에 대하여, 만약 두 사상 $α, β:y\rightrightarrows z$가 $α\circ f=β\circ f$일 경우 $α=β$임이 성립하면 사상 $f$는 전사사상 내지는 에픽사상(epimorphism)이라 칭한다.
그리고, 사상 $f:x\to y$에 대하여 만약 어떤 $g:y\to x$의 존재에 의해 $g\circ f=1_x$, $f\circ g=1_y$가 성립한다면, 이 두 사상은 동형사상(isomorphism)이라 칭한다.[10]

$\mathcal{C}$에 속하는 사상의 화살표를 모조리 반대 방향으로 뒤집어버린 반대범주 $\mathcal{C^{op}}$도 존재한다. 이 경우 $\mathcal{C^{op}}$에서는 $\mathcal{C}$에서의 모닉사상은 에픽사상으로, $\mathcal{C}$에서의 에픽사상은 모닉사상으로 바뀌고 $\mathcal{C}$에서 정의되던 각종 합성연산도 거꾸로 정의되는등 천지개벽(?)이 벌어진다. 이런 성질을 쌍대성(Duality)이라 한다.

범주 하나하나가 통째로 정의역과 공역에 해당하는 사상이 있다. 범주와 범주 사이에 정의되는 사상이 아예 범주에 속하는 대상과 사상들의 관계를 고스란히 보존한채 대응되는 수가 있는데, 이런 조건을 만족하는 사상 $F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$를 함자(Functor)라 한다.

이런 함자들 중에는 범주의 대수적 구조에 정의된 모든 성질을 온전히 옮겨놓지 못하는 칠칠치 못한 함자들도 있다. 이런 것들을 망각 함자(forgetful functor)라 칭한다. 말 그대로 범주를 옮기면서 대수적 구조를 전부 또는 조금씩 빠뜨리고 까먹는 함자들이다. 예를 들어 $\textsf{Field}\rightarrow\textsf{CRing}\rightarrow\textsf{Ring}\rightarrow\textsf{Rng}\rightarrow\textsf{Ab}\rightarrow\textsf{Grp}\rightarrow\textsf{Monoid}\rightarrow\textsf{SemiGrp}\rightarrow\textsf{Magma}\rightarrow\textsf{Set}$ 등의 함자들은 뭔가를 계속 빠뜨리고 있으므로 망각 함자라 할 수 있다.[11]