멱집합

집합 $X$의 모든 부분집합을 원소로 하는 집합을 $X$의 멱집합(冪集合, power set)이라 하고 $\mathcal{P}(X)$ 또는 $2^X$ 로 나타낸다.

예를 들어 $B = \{1,2\}$ 라고 하자. $B$의 부분집합은 $\emptyset , \{ 1 \} , \{ 2 \} , \{1,2 \}$이다.
그러므로 $\mathcal{P}(B) = \left\{ \emptyset , \{ 1 \} , \{ 2 \} , \{1,2 \} \right\}$ 가 된다.

$C = \{a,b,c\}$ 일때, C의 멱집합은 아래와 같다.
$\mathcal{P}(C) = \left\{ \emptyset , \{ a \} , \{ b \}, \{ c\} , \{a,b \}, \{a,c \}, \{b,c \}, \{a,b,c \} \right\}$

임의의 유한집합에 대해서 그 크기가 $\left|A\right|=n$ 이라고 할때, 부분집합의 개수는 $2^n$ 개가 된다. 임의의 정수 $n ( n \ge 0)$에 대해서 $2^n > n$이 항상 성립하므로, 임의의 유한집합에 대해서 멱집합의 크기는 원래의 집합의 크기보다 항상 더 커진다.

즉, 유한집합에서는 $\left|\mathcal{P}(A)\right| >\left|A\right|$ 가 항상 성립한다.

무한집합도 부분집합을 생각할 수 있으므로, 당연히 무한집합에 대해서도 멱집합을 생각할 수 있다. 결론만 말하자면 멱집합의 크기는 원래의 집합의 크기보다 항상 더 크다는 성질이 무한집합에서도 성립한다. 다시 말해 무한집합에서도 $\left|\mathcal{P}(A)\right|>\left|A\right|$ 가 성립한다.

예를 들어 무한집합인 자연수의 집합 $\mathbb{N}$이 있을때, 자연수의 멱집합 $\mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)$를 구하면, 이 멱집합의 크기는 자연수의 집합의 크기보다 더 크다. 즉 $\left|\mathcal{P}(\mathbb{N})\right| > \left|\mathbb{N}\right|$ 이다.

이것이 의미하는 것은 무한집합들 사이에서도 서로 크기가 다른 무한집합이 존재한다는 것이다.

자연수의 집합은 정수의 집합, 짝수의 집합, 유리수의 집합과는 그 크기가 같지만, 자연수의 집합과 실수의 집합은 그 크기가 서로 다르다. 이는 게오르크 칸토어가 대각선 논법이란 교묘한 방법으로 발견하였다. 또한, 대각선 논법을 이용하여 멱집합은 원래 집합보다 항상 크다는 것 역시 밝혀 내었다.

서로 다른 무한집합의 크기를 구분하기 위해서 초한기수라는 수 체계가 도입되었다. 그런데, 초한기수 사이의 관계에서 특이한 가설이 하나 제시되었는데, 그것이 연속체 가설이다.