순서 관계

비교 가능성(comparability)
부분순서집합 $\left(A, \leq \right)$가 주어졌을 때, 집합 $A$의 두 원소 $a, b$가 $a \leq b$이거나 $b \leq a$이면 a와 b는 비교 가능하다(comparable)고 하며, 그렇지 않으면 a와 b는 비교 불가능하다(incomparable)고 한다.

극대 원소, 극소 원소
부분순서집합 $\left(A, \leq \right)$가 주어졌을 때, 집합 $A$의 모든 원소 $x$에 대하여 $M \leq x \implies x=M$을 만족시키는 집합 $A$의 원소 $M$을 집합 $A$의 극대 원소(Maximal element)라고 하며, 반대로 집합 $A$의 모든 원소 $x$에 대하여 $x \leq m \implies x=m$을 만족시키는 집합 $A$의 원소 $m$을 집합 $A$의 극소 원소(Minimal element)라고 한다.
극대, 극소 원소는 한 부분순서집합 내에서 여러 개가 존재할 수도 있고, 아예 존재하지 않을 수도 있다.

최대 원소, 최소 원소
부분순서집합 $\left(A, \leq \right)$가 주어졌을 때, 집합 $A$의 모든 원소 $x$에 대하여 $x \leq M$을 만족시키는 집합 $A$의 원소 $M$을 집합 $A$의 최대 원소(Greatest element)라고 하며, 반대로 집합 $A$의 모든 원소 $x$에 대하여 $m \leq x$를 만족시키는 집합 $A$의 원소 $m$을 집합 $A$의 최소 원소(Least element)라고 한다.
최대, 최소 원소의 개념의 핵심은 부분순서집합의 모든 원소가 그 원소에 대하여 비교 가능해야 한다는 것이다. 만약 비교 가능하지 않은 원소가 하나라도 존재한다면 최대, 최소 원소가 될 수 없다. 최대, 최소 원소는 아예 존재하지 않을 수도 있지만, 한 부분순서집합 내에서 둘 이상 존재할 수 없다. 또한 모든 최대, 최소 원소는 각각 극대, 극소 원소가 된다.
한편 모든 유한한 전순서관계는 최대 원소와 최소 원소를 갖지만 어떤 부분순서집합이 최대, 최소 원소를 갖는다고 해서 반드시 전순서집합이 되는 것은 아니다. 왜냐하면 최대, 최소 원소를 제외한 다른 원소들 사이에 비교 가능하지 않은 원소의 쌍이 존재할 수 있기 때문이다.

상계, 하계, 상한, 하한
실수 체계에서의 정의와 유사하다. 부분순서집합 $\left(A, \leq \right)$와 집합 $A$의 부분집합 $E$가 주어졌을 때, 집합 $E$의 모든 원소 $x$에 대하여 $x \leq M$을 만족시키는 집합 $A$의 원소 $M$을 집합 $E$의 상계(Upper Bound)라고 하며, 반대로 집합 $E$의 모든 원소 $x$에 대하여 $m \leq x$를 만족시키는 집합 $A$의 원소 $m$을 집합 $A$의 하계(Lower Bound)라고 한다. 집합 $E$의 상계 집합의 최소 원소를 집합 $E$의 상한(Supremum) 또는 최소 상계(Least Upper Bound)라 하고, 하계 집합의 최대 원소를 하한(Infimum) 또는 최대 하계(Greatest Lower Bound)라 한다.
실수 집합의 경우 완비성 공리(Completeness Axiom)에 의해서 상계(하계)를 가지면 상한(하한)을 반드시 가졌다. 하지만 일반적으로는 상계와 하계를 갖는다고 해서 상한과 하한이 반드시 존재하는 것은 아니다. 유리수 집합의 부분집합으로 '제곱이 2보다 작은 수의 집합'을 생각해 보자. 이 집합의 상계는 1.5, 2, 3, 100 등 수도 없이 많이 존재하지만, 상한은 없다.

수 체계의 부등호
순서 관계 중에서도 전순서에 해당한다. 어찌 보면 순서 관계라는 개념 자체가 수 체계에서만 사용하던 원소들 간의 대소 비교를 모든 종류의 원소로 확장시킨 개념이라 말할 수 있다. a가 b보다 작다는 것을 a가 b에 대하여 순서상 앞에 위치한다(precede)고 해석할 수 있기 때문이다.

집합 사이의 포함 관계
반사성과 추이성을 만족하고, 반대칭성은 아예 집합의 상등의 정의와 동일하므로 부분순서관계에 해당한다. 하지만 완전한 포함 관계에 있지 않은 집합의 쌍이 존재하므로 전순서관계는 아니다. 최소 원소는 공집합($\emptyset$)이며, 최대 원소는 존재하지 않는다.

자연수의 나누어떨어짐 관계($|$)
나누어떨어짐 관계 역시 반사성, 반대칭성, 추이성을 모두 만족시키므로 부분순서관계에 해당한다. 최소 원소는 1이며, 최대 원소는 존재하지 않는다.

다만 이 관계 역시 8, 12처럼 서로 나누어떨어지지 않는 관계에 있는 자연수의 쌍이 존재하기 때문에 전순서관계가 아니다.
만약에 수의 범위를 정수로 확장할 경우 반대칭성을 만족하지 못해 부분순서관계가 되지 못한다. 반대칭성을 만족하지 못하는 반례로 2와 -2를 들 수 있다. 둘은 서로를 나누어떨어뜨리지만 $2 \neq -2$이다.

양자역학에서 측정의 결과값들로 만들어지는 상태공간이 부분순서를 따른다고 설명하기도 한다. 고전적인 측정은 '예'와 '아니오'의 결과값이 나오며 결정론적인 명제 논리학을 따르지만 양자역학의 측정은 비결정론적 특성을 보였기 때문에 1936년 버크호프와 폰 노이만은 힐베르트 공간에서의 부분순서로 구성된 양자 논리학을 만들었다.

이상도 이하도 아니다
취소선을 쳤지만, 순서관계가 성립되지 않을 경우 수학적으로 참이다.

끝점이 없고 가산이며 조밀한 모든 전순서집합은 서로 순서동형이다. (따라서 유리수만 보면 된다.)

모든 가산인 전순서집합은 유리수의 부분집합과 순서동형이다.