모임(수학)

class


집합론에서 모임은 집합들을 모아놓은 대상을 말한다.

집합론에서 임의의 것이 집합의 원소가 될 수 있다면 '모든 집합의 집합' 같은 것이 정의되어 러셀의 역설을 유발한다. 그래서 집합을 좀 더 엄밀하게 구성하기 위해서 ZFC 공리계 같은 것이 만들어졌다.

그리고 이렇게 엄밀하게 정의된 집합을 모은 것을 모임이라고 부르는데 이는 집합보다 훨씬 커서 집합이 아닐 수도 있다. 이 용어를 제대로 정의하기 위해 ZFC와 동치인 다소 특이한 공리계가 쓰이기도 하는데 예를 들어 NBG 공리계가 있다. NBG에서는 다른 모임의 부분모임이 될 수 있는 것을 집합으로 정의한다.

모임은 집합을 일반화한 것이기 때문에 모든 집합은 모임이다.

ZFC에서는 집합보다 큰 대상을 다룰 수 없기 때문에 모임을 직접 다룰 수 없다. 따라서 ZFC에서는 모임을 비형식적으로 다뤄야 한다.

ZFC에서 모임은 단항 술어와 동치이다.

구체적으로, 집합 $x$ 와 술어 $P$와 동치인 모임 $C$에 대해서

$x∈C↔P(x)$

이고,

$C=\{x | P(x)\}$

로 표기한다.

또한, 임의의 모임 $C=\{x|P(x)\}$와 $D=\{x|Q(x)\}$에 대해

$∀x(P(x)→Q(x))$

이면

$C⊂D$

로 표기하고 C를 D의 부분모임(subclass)이라고 한다. 비슷하게 합모임, 교모임 등도 정의할 수 있다.

proper class

모임 중 집합이 되기에는 너무 크기가 커서 집합이 될 수 없는 모임이다. 그 예시로 모든 집합의 모임 ($V$), 모든 순서수의 모임 ($Ord$), 모든 위상공간의 모임, 모든 군의 모임 등이 있다.