괴델 부호화

최근 수정 시각: 2024-04-16 13:52:35

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1. 개요2. 상세

1. 개요[편집]

Gödel numbering

논리식의 각 기호를 숫자로 대응시키는 전단사 함수, 또는 그러한 절차를 말한다. 쿠르트 괴델이 불완전성 정리를 증명하는 과정에서 각각의 논리식을 자연수에 일대일 대응시키기 위해 제안되었다.

각 부호에 1, 2, 3, ... 등의 자연수를 대응하고, 식의 위치에 2, 3, 5, ... 등의 소수를 대응시켜 소인수 분해를 이용해 pos1^sign1pos2^sign2...의 자연수에 논리식을 대응한다. 예를 들어, 1이 1, 2가 2, +가 3, =이 4의 값을 갖는다면, 1+1=2에 대응되는 자연수는 2¹3³5¹7⁴11² = 78440670가 된다.

								숫자변수				속성 변수			...
상징	0	s	¬	∨	∀	(	)	x₁	x₂	x₃	...	P₁	P₂	P₃	...
숫자	1	3	5	7	9	11	11	13	17	19	...	289	361	529	...

소인수분해에 기반한 방법을 사용하며, 논리식을 위 표로 치환한 집합

\{ x_1,x_2,x_3,...,x_n \}

에 대하여 논리식에 부호화된 값

enc(x_1,x_2,x_3,...,x_n)

를

enc(x_1,x_2,x_3,...,x_n)=2^{x_1} \cdot 3^{x_2} \cdot 5^{x_3} \cdot \cdot \cdot {p_n}^{x_n}

로 치환하는 형식이다.

예를 들면, Nagel과 Newman이 사용한 괴델 부호화에서 기호 "0"에 대한 괴델 수는 6이고 기호 "="에 대한 괴델 수는 5이다. 따라서 그들의 체계에서 공식
"0 = 0"의 괴델 수는

2^6

3^5

5^6

= 243,000,000이다.

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괴델 부호화

1. 개요[편집]

2. 상세[편집]