기본군

基本群 / Fundamental group

기본군은 위상공간의 대수적 구조로, 공간에 존재하는 모든 회로들의 집합에 연속변형 동치류를 준 뒤 군의 구조를 부여한 것이다. 1895년 앙리 푸앵카레가 도입한 개념이기 때문에 푸앵카레 군이라고 부르기도 한다.

기본군을 정의하기 전에, 먼저 필요한 개념들을 정리하자. 아래에서 $X$는 모두 고정된 위상공간이다.

$X$의 두 경로 $f, g: I \to X$가 주어져 있을 때, 만일 $f$의 끝점과 $g$의 시작점이 일치한다면[1] 두 경로를 이어서 하나의 경로를 만들 수 있을 것이다. 이를 두 경로의 곱(product)이라고 부르며, 다음과 같이 정의한다.

붙임 보조정리를 사용하면 $h: I \to X$가 연속인 것은 쉽게 알 수 있고, 따라서 $h$도 $X$의 경로가 된다. 두 경로의 곱 $h$를 $f \cdot g$라 표기하기도 한다.

또한 $x_0 \in X$에 대하여, 항상 $f(t) = x_0$인 함수를 생각할 수도 있다. 이 함수가 연속임은 자명하고, 이는 시작점과 끝점이 같으므로 회로가 된다. 이 회로 $f: I \to X$에는 자명 회로(trivial loop)라는 이름이 있으며, 시작점이 $x_0 \in X$인 자명 회로를 $c_{x_0}$라 표시하기도 한다. 마지막으로 경로 $f: I \to X$가 있다고 할 때, 이 경로를 역방향으로 따라가는 것 또한 경로가 될 것이다. 이를 역경로(inverse path)라고 하며, $g(t) = f(1 - t)$로 정의한다. 이 $g: I \to X$가 연속함수(즉, 경로)인 것은 당연하다.

이제 기본군을 정의할 준비가 다 되었다. 군에는 연산이 필요한데, 위에서 정의한 회로의 곱을 그 연산으로 하려고 한다. 그런데 단순히 두 경로의 곱을 연산으로 놓으면, 군의 구조는 커녕 항등원에 해당하는 원소도 존재하지 않음을 알 수 있다. 그래서 경로보다는 조금 더 좁은 범위인 회로로 생각을 제한하고, 거기에서도 적절한 동치관계를 부여하여야 한다. 이를 위해서는 연속변형류와 군에 관한 이해가 필요하다.

이렇게 정의된 $\pi_1(X, x_0)$이 실제로 군의 구조를 갖는지 확인해 보자. $[f], [g], [h] \in \pi_1(X, x_0)$를 고정하고, 자명 회로 $c_{x_0}$와 역회로 $\bar f$를 생각하자. 이 자명 회로와 역회로는 각각 연산 $\ \cdot \$의 항등원, 역원이 될 예정이다.

즉, 위 사실들을 종합하면 $\pi_1(X, x_0)$는 해당 연산에 대한 군의 구조를 가진다.

기본군의 정의를 생각해 보면, 기본군은 위상공간 $X$뿐만 아니라 기준점이 될 $x_0 \in X$에도 의존함을 알 수 있다. 그렇기 때문에 단순히 $\pi_1(X)$가 아닌 $\pi_1(X, x_0)$의 표현을 써야 하는데, 이는 상당히 거추장스럽다. 다행스럽게도, 다음 명제에 의해 경로연결공간 한정으로 이를 무시할 수가 있다.

이 명제로부터, 경로연결 위상공간 $X$의 기본군은 시작점을 정하지 않아도 up to isomorphism 유일함을 알 수 있다. 따라서 굳이 기본군의 시작점을 표시할 필요가 없거나, 언급하지 않아도 당연한 경우 $\pi_1(X, x_0)$대신 $\pi_1(X)$의 표현도 사용한다.

한편 회로 자체가 연속함수이므로, 연속함수와 회로의 합성을 떠올리는 것은 자연스럽다. 그런데 이 연속함수는 (그 자연스러운 합성에 의해) 기본군에 작용하는데, 다음 정의는 그 작용이 기본군 사이의 준동형사상(homomorphism)이 됨을 알려준다.

우선 우리가 정의한 사상 $\varphi_*$의 Well-definedness를 확인해 주어야 한다.

이렇게 $\varphi_*$가 잘 정의됨을 확인했고, $f_1, f_2: I \to X$가 $X$의 두 회로라면

이므로 $\varphi_*$가 준동형사상임을 확인할 수 있다.

이 사실과 자이페르트-반 캠펀 정리를 이용하면, 기초 대수적 위상수학에서 접할 수 있는 거의 모든 대상의 기본군들을 계산해 낼 수 있다.

즉, 서로 변형수축 관계인 두 공간은 동형인 기본군을 가진다. 이는 기본군의 계산에 상당히 요긴하게 사용되는 명제이며, 역으로 이 명제를 이용해 수축/변형수축이 존재하지 않음을 보일 수도 있다.

사실, 위 함수들의 구성에 의해 $\imath_{\alpha *} \circ \imath_{\alpha \beta} \equiv \imath_{\beta *} \circ \imath_{\beta \alpha}$임을 알 수 있고 이는 포함함수 $A_\alpha \cap A_\beta \xhookrightarrow{} X$로부터 유도된다. 그렇기 때문에, 각 원소 $\omega \in \pi_1(A_\alpha \cap A_\beta)$에 대하여 단어 $\imath_{\alpha \beta}(\omega)\imath_{\beta \alpha}(\omega)^{-1}$는 $\pi_1(X)$의 자명한 원소를 가리켜야만 하고 이로부터 핵 $N = \text{ker } \Phi$은 군 $\left\langle \imath_{\alpha \beta}(\omega)\imath_{\beta \alpha}(\omega)^{-1} \right\rangle$을 포함해야만 한다. 자이페르트-반 캠펀 정리는 정확히 이 군과 핵 $N$이 같음을 주장하고 있다. 이 정리를 이용하면 굉장히 많은 종류의 공간들의 기본군을 간단히 계산해 낼 수 있다!

아래 정리들은 따름정리들이다.

자이페르트-반 캠펀 정리의 자명한 응용. $A_\alpha \cap A_\beta$의 단순연결성에 의해, 해당 정리에 나오는 핵 $N$을 구성하는 모든 단어들은 자명한 단어 뿐이다. 즉 $N \cong 0$이므로 결론이 바로 얻어진다.

위 두 따름정리들은 CW 복합체의 기본군 계산을 편하게 해 준다. 특히, 아래 정리로부터 임의의 CW 복합체 $X$의 기본군 $\pi_1(X)$은 그 2-뼈대(2-skeleton) $X^2$의 기본군 $\pi_1(X^2)$와 같음을 알 수 있다.