이중근호
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근호 안에 또 다른 근호를 표기할 때는, 관례적으로 모든 근호를 처럼 보기 좋게 우측으로 몰아서 표기한다. 꼭 이렇게 해야 수학적으로 옳은 것은 아니며, 와 같이 뒤죽박죽 표기해도 문제는 없다.
이중근호뿐만 아니라 삼중근호, 사중근호 등도 얼마든지 식으로 나타낼 수 있다. 삼중근호를 단일근호로 바꾸려면, 먼저 삼중근호 안에 있는 이중근호를 위의 공식을 이용하여 단일근호로 바꾼다. 이렇게 하여 얻어진 이중근호 식에, 다시 공식을 적용하여 단일근호로 바꾸면 된다. 몇 개의 근호가 중첩되어 있건 이런 식으로 하면 된다.
다중근호가 들어간 대표적인 식으로 가우스가 구한 정십칠각형의 코사인 값이 있다. 코사인 값이 삼중근호이지만[1] 사인 값이 사중근호이다. 마찬가지로 정257각형은 사인 값이 팔중근호, 정65537각형은 사인 값이 십육중근호, 정4294967297각형[2]은 삼십이중근호가 들어가게 된다. 페르마 수는 2차방정식 번으로 변환 가능해서 그러며 1의 제곱근과도 공식이 겹친다. 정17각형의 사인, 코사인 값을 유도하는 공식은 다음과 같다.#[3]
다중근호가 들어간 대표적인 식으로 가우스가 구한 정십칠각형의 코사인 값이 있다. 코사인 값이 삼중근호이지만[1] 사인 값이 사중근호이다. 마찬가지로 정257각형은 사인 값이 팔중근호, 정65537각형은 사인 값이 십육중근호, 정4294967297각형[2]은 삼십이중근호가 들어가게 된다. 페르마 수는 2차방정식 번으로 변환 가능해서 그러며 1의 제곱근과도 공식이 겹친다. 정17각형의 사인, 코사인 값을 유도하는 공식은 다음과 같다.#[3]
[1] 이 페르마 수라 할때 , 값이 중근호가 들어간다. 정삼각형의 코사인 값은 유리수지만 사인 값이 단일근호이며 정오각형의 코사인 값이 단일근호이지만 사인 값은 이중근호가 들어간다.[2] 4294967297의 약수인 정641각형, 정6700417각형도 32중근호가 사용된다.[3] 제목은 5차방정식이라 되어있지만 중간부분에 정십칠각형 코사인 값을 유도하는 방법이 나온다. 마찬가지로 257, 65537각형 등도 유도 가능해 보인다.[4] 아르키메데스 다면체 중 다듬은 육팔면체와 다듬은 십이이십면체만 해당. 이 둘이 차원 아르키메데스 다면체 중에서는 다른 차원에서는 찾아볼 수 없는 3차원의 고유한 형태이기도 하다.
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