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수반 작용소

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토론 역사
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분류
1. 개요2. 정의
2.1. 바나흐 공간의 수반 작용소2.2. 힐베르트 공간의 수반 작용소2.3. 유한 차원 내적 공간의 수반 작용소
3. 성질4. 둘러보기

1. 개요[편집]

함수해석학과 선형대수학에서 수반 작용소(adjoint operator)는 어떤 작용소와 켤레를 이루는 작용소이다.

2. 정의[편집]

2.1. 바나흐 공간의 수반 작용소[편집]

체 K∈{R,C}\mathbb{K\in\{R,C\}} 위의 두 바나흐 공간 X,YX, Y의 유계 작용소 T∈B(X,Y)T\in\mathcal{B}(X, Y)의 수반 작용소는 다음을 만족시키는, 쌍대 공간 Y∗,X∗Y^*, X^* 사이의 유계 작용소 T∗∈B(Y∗,X∗)T^*\in\mathcal{B}(Y^*, X^*)이다.
y∗(Tx)=(T∗y∗)(x)∀x∈X and y∗∈Y∗y^*(Tx)=(T^*y^*)(x)\quad\forall x\in X\ \text{and } y^*\in Y^*
바나흐 공간 XX의 원소 xx와 그 쌍대공간 X∗X^*의 선형 범함수 x∗x^*에 대하여
x∗(x):=<x,x∗>=<x∗,x>x^*(x):=\left<x,x^*\right>=\left<x^*,x\right>
로 표기하면 위 조건은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
<T(x),y∗>=<x,T∗(y∗)>∀x∈X and y∗∈Y∗\left<T(x),y^*\right>=\left<x,T^*(y^*)\right>\quad\forall x\in X\ \text{and } y^*\in Y^*

2.2. 힐베르트 공간의 수반 작용소[편집]

체 K\mathbb{K} 위의 두 힐베르트 공간 H,KH, K의 유계 작용소 T∈B(H,K)T\in\mathcal{B}(H, K)의 수반 작용소는 다음을 만족시키는, 유계 작용소 T∗∈B(K,H)T^*\in\mathcal{B}(K, H)이다.
<T(x),y>K=<x,T∗(y)>H∀x∈H and y∈K\left<T(x),y\right>_K=\left<x,T^*(y)\right>_H\quad\forall x\in H \text{ and }y\in K

2.3. 유한 차원 내적 공간의 수반 작용소[편집]

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체 K\mathbb{K} 위의 유한 차원 벡터 공간 VV가 내적 <⋅,⋅>\left<\cdot,\cdot\right>을 갖춘 내적 공간일 때, VV 위의 작용소 T:V→VT:V\to V의 수반 작용소는 다음을 만족시키는, VV 위의 작용소 T∗:V→VT^*:V\to V이다.
<Ax,y>=<x,A∗y>∀x,y∈V\left<Ax,y\right>=\left<x,A^*y\right>\quad \forall x,y\in V
작용소 TT의 수반 작용소는 유일하다. β\beta가 내적공간 VV의 정규직교기저일 때, 작용소 TT와 수반 작용소 T∗T^*의 정규직교기저 β\beta에 대한 행렬 표현 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.
[T∗]β=([T]β)∗[T^*]_\beta=([T]_\beta)^*
즉, 수반 작용소의 행렬 표현은 작용소의 행렬 표현의 켤레 전치이다.

3. 성질[편집]

4. 둘러보기[편집]

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