극값

위에서 설명한 극값에 대한 오개념을 함정으로 삼아 허를 찌른 문제이다.

$g(x)$의 그래프는 결국, 다음 예시와 같이 $x\leq a$에서는 $f(x)$의 그래프와 같고, 나머지는 왼쪽의 $f(x)$의 그래프와 연속이면서 기울기가 1인 직선으로 이루어져 있다.


$h(a)$에 관한 단서를 통해 $f(x)$를 알아내야 하는데, 그 과정에서 여러 개형의 $g(x)$의 그래프가 등장한다. 이때 극값의 개념을 제대로 알고 있는지가 판가름난다. 우선 실제 수능완성에서는 다음과 같은 해설을 제시했다.


세 경우 중 첫째 경우는 별로 문제가 되지 않을 것이다. 둘째 경우와 셋째 경우를 자세히 설명하면 다음과 같다.


$g(x)$의 그래프가 위와 같으면 극댓값은 1개, 극솟값은 2개로 $h(a)=1-2=-1$이다. 꼭 미분가능해야만 극점인 것은 아니기 때문이다.


$g(x)$의 그래프가 위와 같으면 극댓값은 1개, 극솟값은 1개로 $h(a)=1-1=0$이다. 두 극소점의 $y$좌표가 같기 때문에 극소점은 두 개이지만 극솟값은 한 번만 세기 때문이다.

참고로 $f(x)=x(x-2)(x+2)^2$이고 정답은 $f(4)=288$이다.

2017학년도 6월 고3 나형 21번에서는 첨점도 극점이 될 수 있다는 점을 함정으로 삼았는데, 여기에 걸려든 학생이 많아서 21번치고는 매우 쉬운 문제였는데도 정답률이 38%에 머물렀다.


문제가 된 선지는 ㄴ이었는데, $f'(0)=f'(2)=0$이고 $f(x)$의 최고차항의 계수가 양수이므로 $f(x)$는 $x=0$에서 극대, $x=2$에서 극소이다. 따라서 다음과 같은 그림으로 ㄴ이 참임을 쉽게 알 수 있다.


주의할 점은 첨점도 극점이므로 극소점은 한 개가 아닌 두 개라는 것이다. 그림에는 $f(0)f(2)=0$인 경우가 생략되어 있지만, 그래프의 개형은 위 그림과 다를 것이 없다.

$f(x)$는 다항함수이므로 $g(x)$ 역시 다항함수이다. 즉, 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 $g'(x)$가 실수 전체의 집합에서 정의된다. 따라서 $g(x)$가 (가)를 만족시킨다는 것은 $g'(x)$의 그래프가 $x$축과 교차하지 않는다는 뜻이다. $g(x)$를 미분하면


이며, $f(x)$가 이차함수이므로 $g'(x)$는 사차함수이다. 한편 (나)에 의하여 $g'(x)$의 그래프는 $x=0$과 $x=3$에서 $x$축과 만난다. 그러나 (가)를 만족시키기 위해서는 만나기만 할 뿐 교차해서는 안 된다. 다시 말해서, 이 두 점에서 $g'(x)$의 그래프는 $x$축과 접한다. 한편 $f(x)$가 이차함수이고 최고차항의 계수는 $3$이므로 $\int_0^x f(t)dt$의 최고차항의 계수는 $1$이다. 따라서 $g'(x)$의 최고차항의 계수는 최종적으로 $2$이므로 그 방정식은 다음과 같다.


참고로 $f(x)=3(x-1)(x-3)$이며 정답은 $8$이다.

$g(x)$가 오직 하나의 극값을 가지려면 $g'(x)$의 그래프가 $x$축과 한 번만 교차해야 한다. 따라서 $g'(x)$를 조사하자.

이때, $f'(x)=3x^2-24x+45=3(x-3)(x-5)$이므로 $g'(x)$는 다음과 같다.

이때, 정적분의 성질에 의하여 $\int_a^a\{f(t)\}^4\,{\rm d}t=0$이므로 $\int_a^x\{f(t)\}^4\,{\rm d}t$는 $(x-a)$를 인수로 갖는다. 한편, $\{f(t)\}^4\geq0$이므로 $y=\int_a^x\{f(t)\}^4\,{\rm d}t$는 증가하는 일대일대응이며, 그 그래프는 $x$축과 $x=a$에서만 만난다.

$(a-3)(a-5)\neq0$일 경우, $g'(x)$는 $x=a$, $x=3$, $x=5$에서 모두 $x$축과 교차하므로 $g(x)$의 극값이 세 개 발생하고 만다. 반면 $a=3$이거나 $a=5$이면 다음과 같이 극값이 하나만 발생한다.


$f'(x)$의 부호는 $x=3$에서 양에서 음으로, $x=5$에서 음에서 양으로 변한다. 이때 $h(x)$의 부호는 $x=a$에서 음에서 양으로 변한다. 결국 $a=3$이면 $g'(x)=f'(x)h(x)$의 부호는 $x=3$에서 변하지 않으며, $a=5$이면 $x=5$에서 변하지 않는 것이다. 따라서 답은 $3+5=8$이다.

이 문제는 극값이 발생하려면 도함수가 $0$이 되기만 하면 되는 것이 아니라, $0$이 되는 지점을 중심으로 도함수의 부호가 바뀌어야만 함을 알아야 풀 수 있는 문제였다. 한편 $\{f(t)\}^4$이 짝수 거듭제곱이므로 항상 $0$ 이상이므로 이를 정적분한 $h(x)$는 일대일대응이 되어 $x$축과 한 번만 만난다는 사실을 추론하는 것이 가장 중요했다.

참고로, 2024학년도 수능특강 87쪽에서는 이 문제를 수록하여 다음과 같은 해설을 제시한 바 있다.