근방
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해당 정의에서 근방이라는 단어를 열린집합으로 바꾸면 열린집합의 정의가 된다. 다만 열린집합과의 차이점은 근방이라는 단어를 이용해 근방에 특수한 성질을 부여할 수 있다는 것이 열린집합과의 결정적인 차이점이다. 근방이라는 용어가 정의되지 않았을 때의 예를 들자면 하우스도르프 공간에서 컴팩트집합은 절대로 열린집합이 될 수 없어서, '열린집합을 포함하는 컴팩트집합'(...) 이라는 쓸데없이 긴 용어를 사용해야 했을 것이다. 근방의 정의를 이용하면 '컴팩트 근방' 으로 쉽게 표현할 수 있다.
기본적으로 근방이라는 정의는 공간상의 한 점과 열린집합이 동시에 요구되기 때문에 이를 이용해 국소적 성질(Local property)이라는 것을 정의할 수 있다.
예를 들어 어떤 특징A가 국소적이라 함은 A라는 성질이 전체에서 성립하지 않다 하더라도 적당한 근방에서는 성립한다는 말이다. 물론 국소적으로 모든 곳에서 A가 성립한다 하더라도 전체에서는 A가 성립하지 않을 수도 있다. 또한 대부분의 대역적 성질(Global property) 또한 주어진 대상에서 가능한 모든 점에서 국소적 성질을 만족하는 대상으로 정의할 수 있다. 다만 앞서 이야기 했듯이 국소적으로 모든 부분에서 성립한다고 하더라도 전체에서 성립하지 않는 경우는 분명히 존재한다.[1]
극한과 연속, 그리고 미분이 가장 대표적인 국소적 성질의 예시이다.[2] 특히 미분은 특별한 형태로 두고 근방으로 확장한 해석적이라는 용어도 따로 표현한다. 그 외에도 위상수학이나 해석학, 기하학, 심지어 대수학[3]에서도 웬만한 성질들도 수학자들은 끊임없이 끌고 내려와서 연구를 하다보니 지금 이순간에도 수많은 국소적 성질들이 전세계의 수학자들에 의해 탄생하는중이다.
[1] 이는 주로 국소적과 대역적의 정의의 차이로 인해 발생한다. 대표적으로 위상수학에서의 연결성, 가령 떨어진 두개의 원판을 평면위에서 생각해보면 둘은 떨어져 있어 연결이 아니지만 각 점마다 그 점이 포함되는 원판이나 반원판을 잡을수 있으므로 이는 국소적인 연결이다.[2] 물론 고등학교와 대학교 미적분학 수준에서는 이러한 성질들이 매우 잘 지켜지는, 몇개의 점을 뺀 모든 점에서 연속, 무한번 미분가능 등등이 잘 지켜지지만 당장에 학부 해석학만 접해도 이것들이 깨지는 함수는 왕창 나온다. 이런경우에는 각 점마다 파악하는 것은 기본중의 기본.[3] 이곳에서는 대수 구조의 부분적인 성질을 만족하는 집합으로 의미가 바뀐다.
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