선형 변환

• (동차성(Homogeneity)) 임의의 $a\in F$, $u \in V$에 대해, $f\left(au\right)=af\left(u\right)$[2]
• (가산성(Additivity)) 임의의 $u, v \in V$에 대해 $f\left(u+v\right)=f\left(u\right)+f\left(v\right)$

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특히 이 둘을 합쳐서 선형성이라고 부르기도 한다. 선형성을 만족함은 동차성과 가산성을 동시에 만족하는 것과 동치이다.

• (선형성(linearity)) 임의의 $a,b\in F$, $u,v\in V$에 대해, $f\left(au+bv\right)=af\left(u\right)+bf\left(v\right)$

• $V=W=\mathbb{R}^{2}$에 대해,
  • $f\left(x,y\right)=\left(5x+3y,7x-2y\right)$는 선형 변환이다.
  • $f\left(x,y\right)=\left(6x,5x\right)$는 선형 변환이다.
  • $f\left(x,y\right)=\left(x^{2}+\sin y,0\right)$는 선형 변환이 아니다.
  • $f\left(x,y\right)=\left(0,0\right)$는 선형 변환이다.
  • $f\left(x,y\right)=\left(x+1,x+5y+2\right)$는 선형 변환이 아니다.
• $V$를 $\left[0,1\right]$에서 $\mathbb{R}$로 가는 연속함수들의 모임이라 하면, $\mathbb{R}$-벡터 공간이다. $\phi:V\rightarrow \mathbb{R}$을 $\phi\left(f\right):=\int_{0}^{1}f$라 하면 $\phi$는 선형 변환이다.
• $V$를 $n$차 정사각 행렬의 모임이라 하면, $\mathbb{R}$-벡터 공간이다. 주대각합 $\text{tr}:V\rightarrow \mathbb{R}$은 선형 변환이다.
• $V=W=\mathbb{C}$, $T\left(z\right):=\overline{z}$라 정의하자. $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$위에서, $V$, $W$는 벡터 공간이다.[3]
  • $\mathbb{R}$위에서, $T$는 선형 변환이다.
  • $\mathbb{C}$위에서, $T$는 선형 변환이 아니다. $iT\left(1\right)=i\ne-i=T\left(i\cdot 1\right)$이기 때문이다.[4]

• (핵(kernel))[6] $\ker f:=\left\{v\in V:f\left(v\right)=0\right\}$
• (핵 공간의 차원(nullity)) $\text{Null}\left(f\right):=\dim\ker f$
• (상(image)) $\text{Im} f:=\left\{f\left(v\right):v\in V\right\}$[7]
• (계수(차수; rank)) $\text{rank}\left(f\right):=\dim\text{Im} f$

• nullity-rank theorem[8]

$\dim V=\text{Null}\left(f\right)+\text{rank}\left(f\right)$

• 합성변환
  선형변환 $f, g$의 합성변환 $f \circ g$는 벡터를 변환 $g$을 이용하여 이동시킨 벡터를 다시 변환 $f$를 통해 이동시킨 벡터이다. 예를 들어 $f : (x_1, x_2) \mapsto (3x_1, 5x_2)$, $g : (x_1, x_2) \mapsto (2x_1, 4x_2)$일 때, 2차원 벡터 $(a, b)^T$는 $g$에 의해서 $(2a, 4b)^T$로 이동되고, 이것은 다시 $f$에 의해서 $(6a, 20b)^T$로 이동되므로 $f\circ g : (x_1, x_2) \mapsto (6x_1, 20x_2)$이다.
• 역변환
  벡터 $V$가 $f$에 의해서 벡터 $V'$로 이동될 때, 벡터 $V'$는 그 역변환 $f^{-1}$에 의해서 벡터 $V$로 이동된다. 예를 들어 $f : (x_1, x_2) \mapsto (2x_1, 5x_2)$에 의해 2차원 벡터 $(a, b)^T$는 $(2a, 5b)^T$로 이동되므로, $f^{-1}$에 의해 $(2a, 5b)^T$는 $(a, b)^T$로 이동된다. 따라서 $f^{-1}$는 $f\circ g : (x_1, x_2) \mapsto (\frac{1}{2}x_1, \frac{1}{5}x_2)$와 같다.

• 1. 원래 도형의 방정식에 따라, 해당 도형 위의 임의의 점의 좌표를 $(g(x_0), h(x_0))$ 형태로 나타낸다.
  • 원래 도형의 방정식이 $y=g(x_0)$이면 점의 좌표를 $(x_0, g(x_0))$과 같이 나타낼 수 있다.
• 2. 이 점을 선형 변환을 통해 이동시킨 점의 x좌표와 y좌표를 나타낸 후 정리한다.
• 3. 2번에서 구한 x좌표와 y좌표의 관계식을 구하면 그것이 옮겨진 후의 평면도형의 방정식이다.

• 1. 이 직선 위의 임의의 점을 $(x_0, 2x_0+1)$로 나타낼 수 있다.
• 2. 이 점을 이 선형 변환을 통해 이동시킨 점의 좌표를 나타낸다. $f\left(x,y\right)=\left(x+2y,x-y\right)$에서 $x=x_0, y=2x_0+1$이므로, 옮겨진 점의 x좌표는 $x_0+2(2x_0+1)$, y좌표는 $x_0-(2x_0+1)$가 된다. 이것을 정리하면 x좌표는 $5x_0+2$, y좌표는 $-x_0-1$가 된다.
• 3. 2번에서 구한 x좌표 $x=5x_0+2$와 y좌표 $y=-x_0-1$의 관계식을 구하면 $y=-\frac{1}{5}x+\frac{9}{5}$이므로, 옮겨진 후의 도형의 방정식은 $y=-\frac{1}{5}x+\frac{9}{5}$이다. 즉, 직선 $y=2x+1$은 이 선형 변환에 의해 $y=-\frac{1}{5}x+\frac{9}{5}$으로 옮겨진다.