평행

平行 / parallel

평행이란, 어떤 평면에서의 직선이나 공간에서의 평면을 한없이 늘려도 영원히 만나지 않는 상태를 말한다.[1] 다만 이건 유클리드 기하학에서만 한정되며, 비유클리드 기하학은 평행선 공준을 부정하는 것으로부터 시작하기 때문에 평행선이 존재하지 않거나(타원 공간), 평행선이 여러 개 존재한다(쌍곡 공간). 아래 성질들은 유클리드 기하학에 한한다.

직선이거나 평면인 한 도형 $l$과 다른 도형 $m$이 서로 평행할 때 수학에서는 $l//m$ 또는 $l \parallel m$와 같이 표현한다. 전자는 한국에서 많이 쓰이고, 후자는 세계 보편적으로 많이 쓰인다.

좌표 평면 위의 도형을 모양과 크기가 바뀌지 않게 일정한 방향으로 일정한 거리만큼 옮기는 것은 평행이동이라고 한다.

이러한 성질을 활용하여 한 직선의 평행선을 작도할 수 있다.

과거 7차 교육과정 4학년 2학기 때도 나왔으며 중1때 수행평가 용도로 종종 써먹었다.

일차함수의 그래프에서의 좌표평면의 두 직선이 서로 평행할 조건은 기울기는 같고, y절편은 달라야 한다는 점을 응용한 것이므로 다음과 같다.

또한 좌표평면 위의 점 $P(x, y)$를 $x$축의 방향으로 $a$ 만큼, $y$축의 방향으로 $b$만큼 평행이동한 점을 $P'(x', y')$이라고 한다면, $x'=x+a, y'=y+b$이다. 따라서 점 $P$의 좌표는 $x+a, y+b$이다.

영벡터가 아닌 두 평면벡터 $a$와 $b$가 이루는 각을 θ(0≤θ≤π)라고 할 때 $a$ • $b$ = |$a$| |$b$| $cos$θ인데, θ의 값이 0이면 $a$와 $b$는 서로 평행하면서도 방행이 서로 같고, θ의 값이 π이면 서로 평행하면서도 방향은 서로 정반대이다. 이 역 또한 성립되며, 이를 식으로 표현하면 다음과 같다.

$a$ ∥ $b$ ↔ $a$ • $b$ = ± |$a$| |$b$|

또는 영벡터가 아니고 정확히 일치하지 않는 두 벡터간에 0이 아닌 실수배 관계가 존재하면 평행으로 볼 수도 있다.

평행인 두 벡터를 외적하면 0이고, 내적하면 두 벡터의 절댓값의 곱이다.

널리 알려진 수학 용어라, 일상적인 용례에서도 쓰이곤 한다. "평행선을 달리다"라는 관용어가 대표적인 예로, 협상 등에서 아무런 접점도 없이 허송세월하는 것을 뜻한다.

antiparallel.
직선은 방향이 없지만, 방향이 있는 벡터를 이야기할때나 수학 외의 분야에서는 평행하지만 방향이 반대인 것을 가리켜 역평행하다고 한다. 일방통행이 아닌 도로와 마찬가지. 역평행인 것 중에 가장 유명한 것은 DNA의 이중나선 구조이다. 두 가닥의 진행방향이 반대다.