Granična vrednost
Granična vrednost je jedan od osnovnih pojmova matematičke analize. Pomoću pojma granične vrednosti definišu se neprekidnost, matematički izvodi i integrali. Razlikuju se granična vrednost niza i granična vrednost funkcije. Granična vrednost opisuje broj kome teži vrednost funkcije ili vrednost člana matematičkog niza, kada se argument funkcije ili indeks niza približe nekoj vrednosti.[1]
U matematičkim formulama granična vrednost se obično označava sa lim, kao na primer lim(an) = a, ili strelicom (→), kao na primer an → a.
Matematičari su intuitivno poznavali koncept granične vrednosti već u drugoj polovini XVII veka, što se vidi u radovima Isaka Njutna. To je slučaj i sa radovima Ojlera i Lagranža iz XVIII veka. Prvu strogo naučnu definiciju granične vrednosti dali su Bolcano 1816. i Koši 1821. godine.
Koncept granice niza je dalje generalizovan na koncept granice topološke mreže, i usko je povezan sa granicom i direktnom granicom u teoriji kategorija.
U formulama, granica funkcije se obično piše kao
(iako nekoliko autora koristi „Lt“ umesto „lim“[2]) i čita se kao „granica f od x kako se x približava c jednaka je L. Činjenica da se funkcija f približava granici L dok se x približava c se ponekad označava sa strelicom nadesno (→ ili ), kao u
koje se čita: „ od teži ka kad teži ka ”.
Granična vrednost funkcije[uredi | uredi izvor]
Funkcija ima graničnu vrednost u tački , ako je za sve vrednosti , dovoljno bliske tački , vrednost dovoljno bliska vrednosti . Danas se najčešće koristi definicija granične vrednosti funkcije koju je Karl Vajerštras formalizovao u 19. veku. Ona glasi: Neka je ƒ funkcija definisana na otvorenom intervalu koji sadrži vrednost c (osim možda u samoj tački c) i neka je L realan broj. Onda formula
znači da za svako realno ε > 0 postoji realna vrednost δ > 0 takva da je za svako x koje ispunjava uslov 0 < |x − c| < δ, imamo da je |ƒ(x) − L| < ε.[3]
To se u matematičkoj notaciji zapisuje kao:
Ogisten Luj Koši je 1821. godine,[4] praćen Karlom Vajerštrasom, formalizovao definiciju granice funkcije koja je postala poznata kao (ε, δ)-definicija granice. Definicija koristi ε (malo grčko slovo epsilon) da predstavi bilo koji mali pozitivan broj, tako da „f(x) postaje proizvoljno blizu L“ što znači da f(x) na kraju leži u intervalu (L − ε, L + ε), koji se takođe može napisati korišćenjem apsolutne vrednosti kao |f(x) − L| < ε.[4] Fraza „kako se x približava c“ onda ukazuje da se odnosi na vrednosti x, čija je udaljenost od c manja od nekog pozitivnog broja δ (malo grčko slovo delta)—to jest, vrednosti x unutar bilo koje (c − δ, c) ili (c, c + δ), što se može izraziti sa 0 < |x − c| < δ. Prva nejednakost znači da je x ≠ c, dok druga ukazuje da je x unutar udaljenosti δ od c.[4]
Gornja definicija granice je tačna čak i ako je f(c) ≠ L. Zaista, funkcija f ne mora biti ni definisana na c.
Na primer, ako
tada f(1) nije definisano (vidi neodređeni oblik), ali kako se x kreće proizvoljno blizu 1, f(x) se na odgovarajući način približava 2:[5]
f(0.9) | f(0.99) | f(0.999) | f(1.0) | f(1.001) | f(1.01) | f(1.1) |
1.900 | 1.990 | 1.999 | nedefinisano | 2.001 | 2.010 | 2.100 |
Dakle, f(x) se može proizvoljno približiti granici od 2 - samo tako što se x učini dovoljno blizu 1.
Drugim rečima,
Ovo se takođe može izračunati algebarski, kao za sve realne brojeve x ≠ 1.
Sada, pošto je x + 1 kontinuirano u x na 1, može se uneti 1 za x, što dovodi do jednačine
Pored limita na konačnim vrednostima, funkcije mogu imati i limite u beskonačnosti. Na primer, razmotrite funkciju
- f(100) = 1.9900
- f(1000) = 1.9990
- f(10000) = 1.9999
Kako x postaje izuzetno veliko, vrednost f(x) se približava 2, a vrednost f(x) se može učiniti što bliže 2 koliko se može poželeti – tako što će x učiniti dovoljno velikim. Dakle, u ovom slučaju, limit f(x) kako se x približava beskonačnosti je 2, ili u matematičkoj notaciji,
Granična vrednost niza[uredi | uredi izvor]
Razmotrite sledeći niz: 1,79, 1,799, 1,7999, … Može se primetiti da se brojevi „približavaju“ 1,8, granici niza.
Formalno, pretpostavimo da je a1, a2, … niz realnih brojeva. Može se reći da je realni broj L granica ovog niza, naime:
koji se čita kao
- „Granica an kada se n približava beskonačnosti jednaka je L”
ako i samo ako
- za svaki realan broj ε > 0, postoji prirodan broj N takav da za svako n > N, postoji |an − L| < ε.[6]
Intuitivno, to znači da se na kraju svi elementi niza proizvoljno približavaju granici, pošto je apsolutna vrednost |an − L| rastojanje između an i L. Nema svaki niz limit; ako ima, onda se naziva konvergentnim, a ako ne, onda je divergentan. Može se pokazati da konvergentni niz ima samo jednu granicu.
Granica niza i granica funkcije su usko povezani. S jedne strane, granica kada se n približava beskonačnosti niza {an} je jednostavno limit u beskonačnosti funkcije a(n)—definisane na prirodnim brojevima {n}. S druge strane, ako je X domen funkcije f(x) i ako se limit n približava beskonačnosti funkcije f(xn) kao L za svaki proizvoljni niz tačaka {xn} u {X – {x0}} koji konvergira na x0, tada je limit funkcije f(x) kako se x približava x0 jedna L.[7] Jedan takav niz bi bio {x0 + 1/n}.
Konvergencija i fiksna tačka[uredi | uredi izvor]
Formalna definicija konvergencije može se dati na sledeći način. Pretpostavimo da kao ide od do jeste niz koji konvergira u , sa za svako . Ako pozitivne konstante i postoje sa
onda kao ide od do i konvergira u reda , sa konstantom asimptotske greške .
Za datu funkciju sa fiksnom tačkom , postoji kontrolna lista za proveru konvergencije niza .[8]
- Prvo treba proveriti da li je p zaista fiksna tačka:
- Treba proveriti linearnu konvergenciju. Počninje se tako što se pronalazi . Ako …
onda postoji linearna konvergencija | |
serija divergira | |
onda postoji barem linearna konvergencija i možda nešto bolje, izraz treba proveriti za kvadratnu konvergenciju |
- Ako se utvrdi da postoji nešto bolje od linearnog, izraz treba proveriti na kvadratnu konvergenciju. Počinje se tako što se pronalazi ako…
onda postoji kvadratna konvergencija pod uslovom da je kontinuirana | |
onda postoji nešto čak i bolje od kvadratne konvergencije | |
ne postoji | onda postoji konvergencija koja je bolja od linearne, ali još uvek nije kvadratna |
Izračunljivost granice[uredi | uredi izvor]
Ograničenja mogu biti teško izračunljiva. Postoje granični izrazi čiji je modul konvergencije neodlučiv. U teoriji rekurzije, granična lema dokazuje da je moguće kodirati neodlučive probleme koristeći limite.[9]
Reference[uredi | uredi izvor]
- ^ Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th izd.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-01166-8.
- ^ Aggarwal, M.L. (2021). „13. Limits and Derivatives”. Understanding ISC Mathematics Class XI. II. Industrial Area, Trilokpur Road, Kala Amb-173030, Distt. Simour (H.P.): Arya Publications (Avichal Publishing Company). str. A-719. ISBN 978-81-7855-743-4.
- ^ Weisstein, Eric W. „Epsilon-Delta Definition”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-18.
- ^ a b v Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2010). Calculus of a single variable (Ninth izd.). Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 978-0-547-20998-2.
- ^ „limit | Definition, Example, & Facts”. Encyclopedia Britannica (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-18.
- ^ Weisstein, Eric W. „Limit”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-18.
- ^ Apostol (1974, str. 75–76) harv greška: više ciljeva (2×): CITEREFApostol1974 (help)
- ^ Numerical Analysis, 8th Edition, Burden and Faires, Section 2.4 Error Analysis for Iterative Methods
- ^ Recursively enumerable sets and degrees, Soare, Robert I.
Literatura[uredi | uredi izvor]
- Apostol, Tom M. (1974), Mathematical Analysis (2nd izd.), Menlo Park: Addison-Wesley, LCCN 72011473
- Apostol, Tom M. (1974), Mathematical Analysis (2 izd.), Addison–Wesley, ISBN 0-201-00288-4
- Bartle, Robert (1967), The elements of real analysis, Wiley
- Courant, Richard (1924), Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, Springer Verlag
- Hardy, G.H. (1921), A course in pure mathematics, Cambridge University Press
- Hubbard, John H. (2015), Vector calculus, linear algebra, and differential forms: A unified approach (Fifth izd.), Matrix Editions
- Page, Warren; Hersh, Reuben; Selden, Annie; et al., ur. (2002), „Media Highlights”, The College Mathematics, 33 (2): 147—154, JSTOR 2687124.
- Rudin, Walter (1964), Principles of mathematical analysis, McGraw-Hill
- Sutherland, W. A. (1975), Introduction to Metric and Topological Spaces, Oxford: Oxford University Press, ISBN 0-19-853161-3
- Sherbert, Robert (2000), Introduction to real analysis, Wiley
- Whittaker; Watson (1904), A Course of Modern Analysis, Cambridge University Press
- Felscher, Walter (2000), „Bolzano, Cauchy, Epsilon, Delta”, American Mathematical Monthly, 107 (9): 844—862, JSTOR 2695743, doi:10.2307/2695743
- Grabiner, Judith V. (1983), „Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus”, American Mathematical Monthly, 90 (3): 185—194, JSTOR 2975545, doi:10.2307/2975545, collected in Who Gave You the Epsilon? Arhivirano na sajtu Wayback Machine (4. октобар 2012), ISBN 978-0-88385-569-0
- Sinkevich, G. I. (2017). „Historia epsylontyki” (PDF). Antiquitates Mathematicae. Cornell University. 10. arXiv:1502.06942 . doi:10.14708/am.v10i0.805. Pristupljeno 19. 10. 2021.
- Burton, David M. (1997), The History of Mathematics: An introduction (Third izd.), New York: McGraw–Hill, str. 558—559, ISBN 978-0-07-009465-9
- Miller, Jeff (1. 12. 2004), Earliest Uses of Symbols of Calculus, Pristupljeno 2008-12-18
- Weisstein, Eric W. „Epsilon-Delta Definition”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-18.
- Weisstein, Eric W. „Limit”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-18.
Spoljašnje veze[uredi | uredi izvor]
Bibliotečki resursi o Limit (mathematics) |