Нумеричка математика

Нумеричка математика је грана математике која се бави нумеричким приближним (апроксимативним) рјешавањем математичких проблема. Обзиром на поље математике којим се бави, разликујемо нумеричку анализу, нумеричку линеарну алгебру, нумеричко рјешавање нелинеарних једнаџби, интерполацијске методе, апроксимативне методе, итд.

Нумеричка анализа

Нумеричка анализа је грана нумеричке математике која се бави проналажењем и унапређивањем алгоритама за нумеричко израчунавање вриједности везаних уз математичку анализу, попут нумеричког интегрирања, нумеричког деривирања и нумеричког рјешавања диференцијалних једнаџби.

Посебна је улога нумеричких метода у рјешавању интеграла и диференцијалних једнаџби, будући велик број истих није аналитички рјешив, а изузетно су важни у примјенама. Насупрот томе, потреба за нумеричким деривирањем није изразита, будући за деривирање постоји коначан скуп правила помоћу којег је могуће деривирати сваку функцију симболичким поступцима.

Нумеричка линеарна алгебра

Нумеричка линеарна алгебра је грана нумеричке математике која се бави проналажењем алгоритама за брзо рјешавање проблема из линеарне алгебре. У првом реду треба истакнути методе за рјешавање линеарних сустава, те методе за одређивање својствених вриједности и инверза матрице. За разлику од нпр. нумеричке анализе, методе у нумеричкој линеарној алгебри нису првенствено апроксимативне (мада постоје и такве), већ је основни проблем оптимизирати временско трајање и меморијске захтјеве рачуналног рјешавања проблема. Сустави линеарних једнаџби и матрице које се рјешавају овим алгоритмима у правилу су великих димензија (примјерице, сустав од 100 000 линеарних једнаџби с исто толико непознаница).

Интерполацијске методе

Интерполацијске методе су нумеричке методе развијене како би се кроз коначан број точака (које најчешће представљају нека мјерења) провукла функција одређених карактеристика. За такву функцију, која пролази кроз све задане точе, кажемо да интерполира задани скуп точака. Интерполацијске методе првенствено се баве тражењем полинома који интерполирају задане точке, због многих добрих карактеристика полинома (попут непрекидности и глаткоће). С друге стране, показало се да полиноми високог ступња иако интерполирају, лоше апроксимирају функцију, па се проблем интерполације у пракси обично рјешава тражењем по дијеловима линеарних функција или по дијеловима кубних функција (тзв. сплине-ови).

Апроксимативне методе

Апроксимативне методе су методе развијене како би се чим боље апроксимирала нека функција на заданом интервалу. У пракси, функција коју покушавамо апроксимирати често није ни позната, већ знамо само коначан број њезиних точака (мјерења). За разлику од интерполацијских метода, циљ овога пута није наћи функцију која ће проћи кроз све задане точке, већ одредити ону која ће укупно најмање одступати од (претпостављене) функције на цијелом интервалу. Најкориштенија метода за одређивање апроксимативне функције је "метода најмањих квадрата".