Дифференциал (математика)

Дифференциа́л (от лат. differentia «разность, различие») — линейная часть приращения функции или ее аргумента.

Обозначения

Обычно дифференциал функции $f$ обозначается $df$. Некоторые авторы предпочитают обозначать ${\rm {d}}f$ шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором.

Дифференциал в точке $x_{0}$ обозначается $d_{x_{0}}f$, а иногда $df_{x_{0}}$ или $df[x_{0}]$, а также $df$, если значение $x_{0}$ ясно из контекста.

Соответственно, значение дифференциала в точке $x_{0}$ от $h$ может обозначаться как $d_{x_{0}}f(h)$, а иногда $df_{x_{0}}(h)$ или $df[x_{0}](h)$, а также $df(h)$, если значение $x_{0}$ ясно из контекста.

Использование знака дифференциала

• Знак дифференциала используется в выражении для интеграла $\int f(x)\,dx$. При этом иногда (и не вполне корректно) дифференциал $dx$ вводится как часть определения интеграла.
• Также знак дифференциала используется в обозначении Лейбница для производной $f'(x_{0})={\frac {df}{dx}}(x_{0})$. Это обозначение мотивировано тем, что для дифференциалов функции $f$ и тождественной функции $x$ верно соотношение:

  $d_{x_{0}}f=f'(x_{0}){\cdot }d_{x_{0}}x.$

Определения

Для функций

Дифференциал функции $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ в точке $x_{0}\in \mathbb {R}$ может быть определён как линейная функция

$d_{x_{0}}f(h)=f'(x_{0})h,$

где $f'(x_{0})$ обозначает производную $f$ в точке $x_{0}$, а $h$ — приращение аргумента при переходе от $x_{0}$ к $x_{0}+h$.

Таким образом $df$ есть функция двух аргументов $df\colon (x_{0},h)\mapsto d_{x_{0}}f(h)$.

Дифференциал может быть определён напрямую, то есть, без привлечения определения производной, как функция $d_{x_{0}}f(h)$, линейно зависящая от $h$, и для которой верно следующее соотношение

$d_{x_{0}}f(h)=f(x_{0}+h)-f(x_{0})+o(h),\quad h\to 0.$

Для функции нескольких переменных

Дифференциалом отображения $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ в точке $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ называют линейное отображение $d_{x_{0}}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ такое, что выполняется условие

$d_{x_{0}}f(h)=f(x_{0}+h)-f(x_{0})+o(h),\quad h\to 0.$

Связанные определения

• Отображение $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ называется дифференцируемым в точке $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$, если определён дифференциал $d_{x_{0}}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$.

Свойства

• Матрица линейного оператора $d_{x_{0}}f$ равна матрице Якоби; её элементами являются частные производные $f$.
  • Отметим, что матрица Якоби может быть определена в точке, где дифференциал не определён.
• Дифференциал функции $f$ связан с её градиентом $\nabla f$ следующим определяющим соотношением

  $d_{x_{0}}f(h)=\langle (\nabla f)(x_{0}),h\rangle$

История

Термин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально $dx$ применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики, за исключением нестандартного анализа.

Вариации и обобщения

Понятие дифференциала содержит в себе больше, чем просто дифференциал функции или отображения. Его можно обобщать, получая различные важные объекты в функциональном анализе, дифференциальной геометрии, теории меры, нестандартном анализе, алгебраической геометрии и так далее.

• Дифференциал (дифференциальная геометрия)
• Дифференциалы высших порядков
• Дифференциал Ито
• Внешний дифференциал
• Производная Пеано
• Производная Фреше
• Вариация функционала

Литература

• Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления»