카프리카 수

Kaprekar number(constant) · Kaprekar 數(常數)

인도의 수학자 카프리카가 1955년 발견한 수로, 그의 이름을 따서 카프리카 수라고 한다. 카프리카 수가 가리키는 개념은 두 가지가 있는데, 아래에서 설명하는 내용 중 전자는 확실한 구별을 위해 카프리카 상수라고도 한다.

$0$부터 $9$까지의 정수 중 세 개의 수를 고르되, 같은 수를 세 번 고르지 말아야 한다.[1] 그 세 수를 큰 순서대로 배열하여 세 자리 자연수를 만들고, 작은 순서대로 배열하여 또 다른 세 자리 자연수를 만든다. 그런 다음 이 두 수의 차를 구한다. 두 수의 차가 되는 세 자리 자연수 역시 큰 순서대로 다시 배열하여 새로운 세 자리 자연수를 만든다. 이 자연수의 배열을 역순으로 하여 또 다른 세 자리 자연수를 만들고 이 두 수의 차를 구한다. 단, 두 수의 차가 세 자리가 되지 않는다면, 세 자리가 되기 위해 부족한 자리를 모두 $\boldsymbol{0}$으로 간주한다. 이 과정을 계속 반복하면 결국 $\boldsymbol{495}$가 반복된다. 만약 처음에 $6$, $6$, $7$을 뽑았다면 다음과 같이 된다.

이제부터는 계속 $495$가 반복된다.

세 자리가 아니라 네 자리 수로도 카프리카 수를 얻을 수 있다. 마찬가지로 $0$부터 $9$까지의 정수 중 네 개의 수를 고르되, 같은 수를 네 번 고르지 말아야 한다. 만약 처음에 $1$, $4$, $6$, $9$를 뽑았다면 다음과 같이 된다.

이제부터는 계속 $6174$가 반복된다.

이와 같은 계산을 카프리카 루틴(Kaprekar routine)이라고 하며, $495$와 $6174$를 카프리카 수 또는 카프리카 상수(Kaprekar's constant)라고 한다.

그렇다면 왜 세 자리 카프리카 수는 $495$가 될까?

우선, 처음에 뽑은 세 정수를 각각 $a$, $b$, $c$라고 하자.$(9\geq{a}>b>c\geq{0})$ 그러면 처음으로 실행하는 연산은 $(100a+10b+c)-(100c+10b+a)$가 된다. 이를 계산하면 $100(a-c)+(c-a)$가 되고, 이는 결국 $100(a-c)-(a-c)=99(a-c)$가 된다. $a>b>c$이므로 $a-c>0$이고, $99(a-c)>0$이다.

$(a-c)$의 값이 될 수 있는 수를 알아보자. 우선, 뺄셈의 연산은 정수 집합에 대하여 닫혀 있으므로 $(a-c)$ 역시 정수일 수밖에 없다. 또한, $a>b>c$이므로 $a=c$일 수 없고, $a-c=0$일 수 없다. 또한, $a>b>c$이고 $a$, $b$, $c$는 정수이므로 $a-c=1$일 수 없다. $a-c=1$이면 정수 $b$의 값을 결정할 수 없기 때문이다. 또한, $9\geq{a}>b>c\geq{0}$이므로 $a-c\leq{9-0}=9$이기 때문에 $(a-c)$의 값은 $9$보다 클 수 없다. 따라서 $(a-c)$의 값이 될 수 있는 수는 $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$이다.

여기에서 $a-c=2$인 경우에 진행되는 연산을 보자.

이로써 $(a-c)$의 값이 $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$인 경우 결국 모두 $495$로 도달한다는 것이 자연스럽게 증명되었다. 따라서, 카프리카 루틴에 따라 $\boldsymbol{0}$부터 $\boldsymbol{9}$까지의 정수 중에서 어떻게 수를 뽑든지 $\boldsymbol{495}$로 도달한다.

그렇다면 왜 네 자리 카프리카 수는 $6174$가 될까? 자릿수가 딱 하나 늘어났을 뿐이지만 세 자리의 경우보다 훨씬 복잡해진다. 일반적인 원리로 증명하는 것은 너무 까다롭고, 하나하나 다 해보는(...) 수밖에 없다. 그것을 순서도로 나타낸 것을 참고.

인도의 수학자 카프리카는 길을 가다가 '3025km'라는 글귀가 쓰인 이정표가 심한 폭풍우 때문에 '30', '25'와 같이 반으로 잘린 것을 보았다. 그러자 카프리카는 $30+25=55$이고, $55^2=3025$라는 점을 발견했다. 그 후 사람들은 55와 같이, 자신의 제곱수를 임의의 두 부분으로 나누어 더하면 다시 원래의 수가 되는 수를 카프리카 수로 부르게 되었다.

1, 9, 45, 55, 99, 297, 495, 703, 999, 2223, 2728, 3025, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170...

9, 99, 999… 와 같이 임의의 자연수 $n$에 대하여 $10^n-1$ 꼴이 되는 수는 전부 카프리카 수이다. 임의의 자연수 $n$에 대하여 $10^n-1$ 꼴의 수는 10진법으로 나타내었을 때, 9가 $n$개 이어지는 형식인데, 다음과 같이 된다.

8+1=9, 98+01=99, 998+001=999, 9998+0001=9999, 99998+00001=99999... 이렇게 되므로 임의의 자연수 $n$에 대하여 $10^n-1$ 꼴이 되는 수는 전부 카프리카 수이다.
증명 자체도 간단한데, $\left(10^n-1\right)^2=10^{2n}-2\times10^n+1$이고, 이를 둘로 쪼개면 $10^{2n}-2\times10^n=10^n\left(10^{n}-2\right), 1$이 되므로 $\left(10^{n}-2\right)+1=10^n-1$이 되는 것을 쉽게 보일 수 있다. 따라서 카프리카 수는 무수히 많다.