경사도
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경사도가 표시된 도로교통표지판 |
도로에 적혀있는 경사의 경우 퍼센트로 표시되어있는데 이걸 각도로 착각하는 사람들이 있다.[1] 사실은 수직거리/수평거리, 즉 탄젠트값을 백분율로 나타낸 것이다. 즉 경사도 100%의 기준은 45도가 된다(이므로). 경사각을 직접 측량하기는 까다롭기 때문에[2] 거리와 높이를 측정하는 방법을 쓰는 것이다. 반대로 경사각을 구하려면 경사도에 아크탄젠트 값을 취하면 나온다.[3]
가장 많이 보이는 값인 10%는[4] 대략 5.7° 정도[5]의 다소 가파른 구배이며 20%는 약 11°로 매우 가파른 구배, 30%는 약 16°를 나타낸다. 반대로 30°는 58%로 마찰이 적으면 서있기도 힘든 수준으로 아파트 계단이 33도 정도다. 국내에서 자동차가 통행 가능한 가장 높은 급구배는 경기도 군포시 수리산에 있으며 40%(21.8도)의 경사를 자랑한다.[6] 스키장 등지에서는 50% 이상의 경사도인 곳도 있다.
경사각의 크기가 매우 작다면 경사도와 경사각은 근사적으로 비례한다.[7]
사실 거의 모든 경사도에서 정확한 값의 각도가 나오지 않는다. 그 이유는 바로 아랫문단 참고.
가장 많이 보이는 값인 10%는[4] 대략 5.7° 정도[5]의 다소 가파른 구배이며 20%는 약 11°로 매우 가파른 구배, 30%는 약 16°를 나타낸다. 반대로 30°는 58%로 마찰이 적으면 서있기도 힘든 수준으로 아파트 계단이 33도 정도다. 국내에서 자동차가 통행 가능한 가장 높은 급구배는 경기도 군포시 수리산에 있으며 40%(21.8도)의 경사를 자랑한다.[6] 스키장 등지에서는 50% 이상의 경사도인 곳도 있다.
경사각의 크기가 매우 작다면 경사도와 경사각은 근사적으로 비례한다.[7]
사실 거의 모든 경사도에서 정확한 값의 각도가 나오지 않는다. 그 이유는 바로 아랫문단 참고.
와 은 역탄젠트 함수[10], 는 편각[11], 은 분지 절단(branch cut)을 한 복소로그함수이다.[12] 일반적으로 환원 불능(casus irreducibilis)이 되기 때문에[13] 실수로만 표현하기 위해서는 테일러 전개를 하는 방법[14] 등을 통해 근삿값으로만 구할 수밖에 없다. 위 네 식은 복소평면 위에서 동치이다.
퍼밀로 경사도가 주어졌을 경우, 위 식에서 100을 1000으로 바꾸면 된다.
자명한 경우로, (완전 수평)또는 (밑변=높이)인 경우를 생각할 수 있는데 전자는 이 나오고 후자의 경우 가 나온다. 또한 경사각이 에 가까워질수록 경사도는 무한대로 커지게 된다.[15]
퍼밀로 경사도가 주어졌을 경우, 위 식에서 100을 1000으로 바꾸면 된다.
자명한 경우로, (완전 수평)또는 (밑변=높이)인 경우를 생각할 수 있는데 전자는 이 나오고 후자의 경우 가 나온다. 또한 경사각이 에 가까워질수록 경사도는 무한대로 커지게 된다.[15]
[1] 참고로 경사도와 각도 모두 무차원량이다. 둘 모두 정의가 길이÷길이이기 때문.[2] 수평기가 있긴 하지만 길이보다는 정밀한 측정이 어렵다.[3] 이때 경사도가 100%라면 100이 아닌 1에다 아크탄젠트값을 취해야 정상적으로 45도가 나온다.[4] 아무 곳이나 대충 10%로 표기한 곳도 있다.[5] 밑변 100미터, 높이 10미터의 직각 삼각형을 상상하면 된다. 즉 수평으로 100미터 전진하면서 목적지는 그보다 10미터 더 높이 있다는 것이다. 이때 밑각이 5.7°인 것이다.[6] 이보다 더 심한 45%짜리 경사가 존재하나 김포시 민간인통제구역 군사시설 내부에 있는 관계로 민간인은 이용할 수 없다.[7] 에서 유도된다. 는 로피탈의 정리를 적용했음을 나타낸다.[8] 단, 고무차륜열차는 예외적으로 상대적으로 높은 경사도에서도 주행할 수 있다.[9] 이때의 단위는 라디안이다. 도(°) 단위로 보려면 를 곱해주면 된다.[10] 는 의 이변수함수 꼴이다.[11] 경사도의 정의와 각도의 관계를 나타내는 가장 근본적인 식이라고 볼 수 있다.[12] 기본적으로 복소로그함수는 다가 함수이므로, 일대일대응이 되게 공역의 범위를 제한할 수 있는데 이를 분지 절단이라고 한다.[13] 즉, 허수단위 를 뺀 상태로 표기할 수 없다.[14] [15] [16] 작도 가능한 각[17] 물론, 특수각이어도 아래처럼 경사도라고 하기 뭣한 것(...)도 존재하긴 하다.
참고로 이 값을 퍼센트로 표기하면 약 21.26%가 된다.
참고로 이 값을 퍼센트로 표기하면 약 21.26%가 된다.
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