4차원

4차원(四次元, fourth dimension, 4-D)은 4개의 차원(dimension)으로 이루어진 임의의 공간이다. 숫자쌍에서 마음대로 정할 수 있는 숫자가 네 개라는 말이다.

비단 기하학이나 물리학 같은 복잡한 개념을 쓸 필요 없이 단순히 4개의 정보를 다루면 4차원 데이터다. 쉽게 말해 어떤 사람에 대한 수치 데이터를 다루기 위해 키, 몸무게, 가족수, 재산을 통계로 만들겠다고 하면 A라는 사람은 (172 cm, 64 kg, 4명, 5억 원)이라는 4개의 숫자쌍으로 정리가 되고, 4개의 독립적인 숫자를 쓰기 때문에 이게 바로 4차원 데이터다.

이 4개의 숫자가 있다는 걸 기하학으로 생각한 개념이 바로 서로 방향이 겹치지 않는 좌표축이 4개 있다는 말. [1]

4차원 유클리드 좌표공간상에서 함수 그래프를 그리면 3차원 다양체(3변수함수)가 그려지듯이 n차원 유클리드 좌표공간상에서 함수 그래프를 그리면 n-1차원 다양체(n-1변수함수)가 그려진다고 한다. 4차원 유클리드 공간 상에서 그려지는 함수를 초곡면이라고 한다.



위 사진은 4차원 유클리드 실공간 위에서 삼변수함수를 그리는 원리,방법의 하나를 보여주는 사진이다.



위 사진은 좌표축이 4개 있는 사진을 바탕으로 어느 일반인이 Wolfram Mathematica 14에서 그린 4차원 유클리드 실공간에서의 4가지 초평면의 사진이다.[2]

Eugene Khutoryansky라는 유튜브 채널에서는 4차원뿐만 아니라 그 이상의 차원들도 2차원 상에서 사진, 그림으로 그릴 수 있다고 주장했다.

이것,이것, 이것도 보면 4차원 초입방체, 4차원 실공간에 대해 이해하는 데 도움 될 것이다.


위 사진은 Desmos 3D로 그린 삼변수함수 f(x,y,z)=cos(x)+cos(y)+cos(z)의 그림이다 링크

이처럼 4차원 도형의 모습을 상상하기 힘든 이유는 우리가 오직 3차원 공간에서만 살고 있고, 4차원 도형을 현실에서 직접 본 적도 거의 없기 때문이다.

삼변수함수를 그리는 방법에는 서로 방향이 겹치지 않는 축 4개를 그리는 방법과 4개의 변수 중에서 하나를 색깔로 하여 그리는 방법 그리고 4개의 변수 중에서 하나를 애니메이션으로 정하여 그리는 방법이 있다.

실제로 페루의 어느 한 교수는 mathematica로 사차원 삼변수함수 그래프를 그리는 방법을 연구했다고 한다. 링크[11]