Nombre taxicab généralisé

En mathématiques, un nombre taxicab généralisé Taxicab(k, j, n) est le plus petit nombre qui peut être exprimé comme la somme de j termes entiers positifs non nuls et élevés à la puissance k de n manières différentes. Pour k = 3 et j = 2, il coïncide avec le nombre taxicab donné par Ramanujan :

$\operatorname {1\,729=1^{3}+12^{3}=9^{3}+10^{3}=Taxicab} (3,2,2)\!$

Il a été montré par Euler que

$\operatorname {Taxicab} (4,2,2)=635\,318\,657=59^{4}+158^{4}=133^{4}+134^{4}\,\!$

$\operatorname {Taxicab} (5,2,2)\,\!$ demeure encore introuvé.

Si a < c < d < b, donc a et b sont respectivement les nombres le plus petit et plus grand, alors il a été démontré via un algorithme^{[réf. souhaitée]} que l'écart entre a et d (c'est-à-dire l'écart entre le nombre le plus petit et le plus grand des deux nombres intermédiaires) est supérieur à 35 000.