Parallélogramme

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En géométrie, un parallélogramme est un quadrilatère (polygone à quatre côtés) dont les segments diagonaux se coupent en leur milieu^[1].

Définitions équivalentes[modifier | modifier le code]

En géométrie purement affine, un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement s'il satisfait l'une des propriétés équivalentes suivantes :

les segments $[{\rm {{AC}]}}$ et $[{\rm {{BD}]}}$ ont même milieu
les vecteurs ${\rm {\overrightarrow {AB}}}$ et ${\rm {\overrightarrow {DC}}}$ sont égaux ;
les vecteurs ${\rm {\overrightarrow {AD}}}$ et ${\rm {\overrightarrow {BC}}}$ sont égaux.

Si de plus les quatre sommets sont trois à trois non alignés, ces propriétés sont aussi équivalentes à la suivante : les côtés opposés sont parallèles deux à deux, c'est-à-dire : (AB) // (CD) et (AD) // (BC)^[2].

En géométrie euclidienne, sous cette même hypothèse, ces propriétés sont aussi équivalentes à :

le quadrilatère est non croisé et ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux ;
il est convexe et ses angles opposés ont la même mesure deux à deux ;
ses angles consécutifs sont supplémentaires deux à deux ;
c'est un trapèze (non croisé) dont les bases ont même longueur.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Tout parallélogramme a un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales.
Dans tout parallélogramme ABCD, on a l'identité du parallélogramme : ${\rm {{AC}^{2}+{BD}^{2}=2\left({AB}^{2}+{BC}^{2}\right)}}$ .
Les angles d'un parallélogramme qui se suivent sont supplémentaires.
Les angles opposés sont égaux.

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

Un losange est un parallélogramme ayant au moins deux côtés consécutifs de même longueur^[1]. Il est même équilatéral.
Un rectangle est un parallélogramme ayant au moins un angle droit. Il est même équiangle.
Un carré est un losange rectangle.

Aire[modifier | modifier le code]

L'aire d'un parallélogramme est égale à celle du rectangle de mêmes base et hauteur.

Soient $b$ la longueur d'un côté du parallélogramme et $h$ la longueur de la hauteur associée (distance entre les deux côtés de longueur $b$ ). L'aire ${\mathcal {A}}$ du parallélogramme vaut :

{\mathcal {A}}=b\times h.

En fonction des longueurs $a,b$ des côtés et de la mesure $\alpha$ du petit angle, l'aire est donnée par :

{\mathcal {A}}=ab\sin \alpha .

Avec les notations ci-dessus, l'aire est aussi donnée par le déterminant :

{\mathcal {A}}=|\det({\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AD}})|

En fonction des longueurs $a,b$ des côtés et des longueurs $d,d'$ des diagonales, l'aire est donnée par :

{\mathcal {A}}^{2}=a^{2}b^{2}-{\frac {1}{16}}(d^{2}-d'^{2})^{2}={\frac {1}{4}}(d^{2}d'^{2}-(a^{2}-b^{2})^{2})

,

ce qui redonne les formules d'aire dans le cas du rectangle ( $d=d'$ ) et dans le cas du losange ( $a=b$ ).

Antiparallélogramme[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Antiparallélogramme.

Un antiparallélogramme est un quadrilatère croisé dont les côtés opposés ont la même longueur deux à deux.

Dans un antiparallélogramme, les angles opposés ont la même mesure en valeur absolue.

Équipollence et vecteurs[modifier | modifier le code]

Articles détaillés : Équipollence (mathématiques) et Vecteur.

(C,D) et (E,F) sont équipollents à (A,B).

Il est désormais classique de définir la notion de parallélogramme à partir de celle de vecteur (voir supra) mais on peut inversement, à partir de la notion de milieu, définir (comme en introduction) celle de parallélogramme, puis celle d'équipollence de deux bipoints, et enfin celle de vecteur :

on appelle bipoint tout couple de points (l'ordre des points a une importance) ;
deux bipoints (A, B) et (C, D) sont dits équipollents si ABDC est un parallélogramme (la relation d'équipollence est une relation d'équivalence) ;
on appelle vecteur ${\rm {\overrightarrow {AB}}}$ la classe d'équivalence du bipoint (A,B), c'est-à-dire l'ensemble des bipoints équipollents à (A,B).

On retrouve alors qu'un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si ${\rm {{\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {DC}}}}$ .

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Parallélogramme, sur Wikimedia Commons

Notes et références[modifier | modifier le code]

↑ ^{a et b} M. Troyanov, Cours de géométrie, PPUR, 2002, p. 13.
↑ Jean Dieudonné, Algèbre linéaire et géométrie élémentaire, Hermann, 1964, exercice 1, p. 50.

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[C-1] {a et b} M. Troyanov, Cours de géométrie, PPUR, 2002, p. 13.

[2] Jean Dieudonné, Algèbre linéaire et géométrie élémentaire, Hermann, 1964, exercice 1, p. 50.

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