Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Στα μαθηματικά, η ταυτότητα Κασίνι λέει ότι για τον -οστό αριθμό Φιμπονάτσι ισχύει ότι[1][2]
- .
Η ταυτότητα παίρνει το όνομά της από τον Τζοβάνι Ντομένικο Κασίνι.
Μπορούμε να επιβεβαιώσουμε την ταυτότητα για τους πρώτους αριθμούς Φιμπονάτσι:
- Για , .
- Για , .
- Για , .
- Για , .
- Για , .
Για κάθε οι αριθμοί Φιμπονάτσι ικανοποιούν την παρακάτω ισότητα πινάκων:
Παίρνοντας την ορίζουσα και στα δύο μέλη, από τις ιδιότητες της ορίζουσας έχουμε ότι
Επομένως,
- .
Θα χρησιμοποιήσουμε την μαθηματική επαγωγή για να αποδείξουμε ότι:
- .
Βάση: Για , έχουμε ότι
- .
Επαγωγικό βήμα: Ας υποθέσουμε ότι η σχέση ισχύει για , τότε
- .
Από την αναδρομική σχέση των αριθμών Φιμπονάτσι έχουμε ότι
- .
Αντικαθιστώντας στην πρώτη σχέση, λαμβάνουμε ότι
που ολοκληρώνει την απόδειξη.
Η ταυτότητα Catalan είναι μία γενίκευση της ταυτότητας Κασίνι όπου για κάθε με έχουμε ότι
Η ταυτότητα Vajda γενικεύει ακόμα περισσότερο αυτήν την ταυτότητα δίνοντας ότι για κάθε ισχύει ότι