José Ferreirós

Please do not quote. This version of the paper is a preprint, and in fact very different from the published chapter in Vol. 6 of A Cultural History of Mathematics, eds. Archibald and Rowe (Bloomsbury). Any quote or reference should be from/to that book.

La Gaceta de la RSME, Vol. 13 (2010), Núm. 1, Págs. 153–177.

En los años 2000 se cumplió un siglo del nacimiento de ambos filósofos matemáticos (1903 y 1908 respectivamente), y se publicó en castellano una edición muy completa de los escritos de Lautman, menos conocidos que los
de su colega. Sirvan estos motivos como excusa para la publicación del presente trabajo. Con Cavaillès y Lautmann comenzó una tradición, típicamente francesa, que exigía a la filosofía de las matemáticas desarrollar sus reflexiones «al interior de las matemáticas». Como veremos, esta alta exigencia dio como fruto trabajos y reflexiones muy notables, cuyas trazas se extendieron también a la matemática misma.

This paper defends a conceptualistic version of structuralism as the most convincing way of elaborating a philosophical understanding of structuralism in line with the classical tradition. The argument begins with a revision of the tradition of "conceptual mathematics", incarnated in key figures of the period 1850 to 1940 like Riemann, Dedekind, Hilbert or Noether, showing how it led to a structuralist methodology. Then the tension between the 'presuppositionless' approach of those authors, and the platonism of some recent versions of philosophical structuralism, is presented. In order to resolve this tension, we argue for the idea of 'logical objects' as a form of minimalist realism, again in the tradition of classical authors including Peirce and Cassirer, and we introduce the basic tenets of conceptual structuralism. The remainder of the paper is devoted to an open discussion of the assumptions behind conceptual structuralism, and-most importantly-an argument to show how the objectivity of mathematics can be explained from the adopted standpoint. This includes the idea that advanced mathematics builds on hypothetical assumptions (Riemann, Peirce, and others), which is presented and discussed in some detail. Finally, the ensuing notion of objectivity is interpreted as a form of particularly robust intersubjectivity, and it is distinguished from fictional or social ontology.

En tiempos recientes ha habido desacuerdos sobre si las demostraciones por inducción matemática pueden considerarse “explicativas” o no. En este trabajo se considera la cuestión desde diversos puntos de vista, sobre la base de la idea de que explicar se dice de muchas maneras. Primero, se expone y critica un argumento de M. Lange que pretende zanjar la cuestión. Segundo, se considera el papel de los razonamientos inductivos como pieza clave en la sistematización de la aritmética, poniéndolo en relación con las ideas de Kitcher sobre explicación y unificación. Concluimos relacionando las ideas de explicación y comprensión, resaltando los aspectos pragmáticos de esa idea, y argumentando que no es razonable pensar que un único esquema lógico-formal (o dos, a lo sumo) pueda ser adecuado para todos aquellos argumentos que solemos calificar de “explicativos”.

From the Preface: “This book is a philosophical examination of one of the most brilliant intellectual explorations ever, aimed at justifying mathe-matics in the wake of the class paradoxes”. The sentence encapsulates the aims of the book under review, and justly emphasises the ...

The Bulletin of Symbolic Logic Volume 7, Number 4, Dec. 2001 THE ROAD TO MODERN LOGIC—AN INTERPRETATION JOSE FERREIROS1 Abstract. This paper aims to outline an analysis and interpretation of the process that led to First-Order Logic and its ...

ABSTRACT: We offer a survey of Kurt Gödel's main contributions in the field of Logic and foundations of mathematics, and we analyse their impact, which can well be called revolutionary. The aim is to contribute to an understanding of the aims and methodological orientation of Gödel's ...

Mil veces se ha escrito que la célebre disputa sobre fundamentos, a comienzos del siglo XX, surgió del descubrimiento de las paradojas de la lógica y la teoría de conjuntos. Historiadores recientes han mostrado cómo esta idea es sólo una media verdad: más importantes fueron las disputas sobre la metodología abstracta frente a la constructiva, que habían empezado ya en el XIX. Pero, en todo caso, las paradojas han afectado enormemente al estudio de los fundamentos de la matemática y a la concepción de las relaciones entre lógica y matemáticas. Entre todas las paradojas, la de Russell destaca por su carácter simple y directo. Pero su estatus ha cambiado según diferentes contextos lógicos y teóricos.

Resumen El logicismo suele figurar de modo estándar en los manuales como una de las principales alternativas en la fundamentación de las matemáticas, si bien su atractivo disminuyó considerablemente desde aprox. 1950. Bien es cierto que la corriente neologicista ha revitalizado dicha tendencia sobre la base del Principio de Hume y el Teorema de Frege, pero aún así el neologicismo se limita a la aritmética y no aspira a dar cuenta de la matemática en su conjunto. En este trabajo no pretendemos centrarnos en el logicismo clásico de Frege y Dedekind, ni en el período de Russell y Carnap, ni tampoco en la corriente neologicista, sino que nuestra intención es llamar la atención hacia determinadas herencias del logicismo que suelen pasar inadvertidas. En las décadas de 1920, 1930 y 1940 aprox., la tesis logicista estimuló algunas innovaciones de bastante calado en la lógica matemática. Concretamente, puede argumentarse que dos ideas clave ligadas a la semántica formal tienen su origen en la idea de lógica promovida por el logicismo: la expansión de la metamatemática operada por Tarski, que abrió el camino hacia la teoría de modelos; y la insistencia en la semántica "plena" o conjuntista como "estándar" para la lógica de segundo orden. El artículo propone un análisis de dichas herencias e insiste en que la teoría lógica debería evitar algunas de sus implicaciones. Palabras clave: fundamentos de las matemáticas-lógica matemática-filosofía de la lógica-teoría de modelos-lógica de segundo orden-historia de la lógica y las matemáticas

Abstract Logicism finds a prominent place in textbooks as one of the main alternatives in the foundations of mathematics, even though it lost much of its attraction from about 1950. Of course the neologicist trend has revitalized the movement on the basis of Hume's Principle and Frege's Theorem, but even so neologicism restricts itself to arithmetic and does not aim to account for all of mathematics. The present contribution does not focus on the classical logicism of Frege and Dedekind, nor on the Russell-Carnap period, and also not on recent neologicism; its aim is to call attention to some forms of heritage from logicism that normally go quite unnoticed. In the 1920s, 1930s and 1940s, the logicist thesis became a stimulus for some deep innovations in the field of mathematical logic. One can argue, in particular, that two key ideas linked with formal semantics had their origins in the conception of logic associated with the logicist trend-the expansion of metamathematics brought about by Tarski, opening the way to model theory, and the insistence on the "full" set-theoretic semantics as "standard" for second-order logic. The paper proposes an analysis of those inheritances and argues that that logical theory ought to avoid some of their implications.
Keywords: foundations of mathematics-mathematical logic-philosophy of logic-model theory-second-order logic-history of logic and mathematics  Recibido: 4 de abril de 2018. Aceptado con revisiones: 13 de mayo de 2018.

An analysis of both works, published in Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940, ed. I. Grattan-Guinness (Elsevier, Amsterdam, 2005), chapter 47, pp. 613–626.
Full title: “R. Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen? (1888), G. Peano, Arithmetices principia, nova methoda exposita (1889)”

Uno de los problemas más debatidos en Filosofía de las Matemáticas es la espinosa cuestión del significado y alcance de las afirmaciones de existencia que se realizan en el contexto de la matemática moderna. El debate sobre las nociones de 'existencia' y 'verdad' fue central en la famosa crisis de fundamentos que se desarrolló en los años 1920 y 1930, y el desacuerdo respecto a dichas nociones -asociado a fuertes diferencias metodológicas- es quizá la clave para entender el cisma entre los matemáticos 'modernos' y los constructivistas. Aunque no ignoro en absoluto que dicho cisma sigue abierto, en la medida en que algunos grandes matemáticos siguen siendo proclives al constructivismo, centraré mi atención en la noción de existencia propia de la matemática moderna, hilbertiana, para presentar algunas ideas sobre la conexión que parece darse, en la práctica matemática, entre afirmaciones de existencia consideradas legítimas y representaciones cognitivas adecuadas. Comenzaremos con algunas aclaraciones relativas a la noción de existencia hilbertiana, seguidas de consideraciones sobre la fuente de las estimaciones de consistencia que se hacen respecto a las teorías de la matemática moderna. Después discutiremos el papel de la comprensión conceptual como base para tales estimaciones, y el lugar que les corresponde a las representaciones en este contexto. El caso principal en el que centraré mi atención es la representación del universo conjuntista que se toma como base en la llamada concepción iterativa de los conjuntos. La importancia de este caso es que a menudo la concepción iterativa se presenta como el trasfondo intuitivo de los axiomas habituales para la teoría de conjuntos.

Abstract -- We formulate and discuss a " great antinomy " between theoreticist/ foundationist conceptions and pragmatist conceptions, in relation to a wide diversity of scientific and/or philosophical approaches. The contrast is illustrated in particular with the concept of time, considering the 'timelessness crowd' that has been guided by a theoreticist vision.

Starting about 1887, Richard Dedekind expressed his conviction that the concept of an Abbildung (representation, mapping) is not only absolutely indispensable for pure mathematics, but is the unique foundation of arithmetic, algebra, and analysis. Notice that, at his time, pure mathematics was under the sign of number in the sense of so-called arithmetization. In this paper we consider some of Dedekind's contributions around the year 1890, to show how he explored and developed that innovative idea in a number of directions. Not only did he present a careful analysis of the foundations of the natural-number structure based on maps and map-theoretic notions, but he went on to show how central structures of analysis and algebra could be obtained by relying directly on mappings. While his new reections about the continuum remained unpublished and did not inuence subsequent developments, his relevant algebraic work was published in the famous XIth Supplement to Dirichlet's Vorlesungen and-many years later-became a landmark of modern algebra.

Reproduzco a continuación las Notas preparadas para el curso 2002/03 que impartí en la Facultad de Filosofía de la Universidad de Sevilla. Quiero dar las gracias a los alumnos de Sevilla, que recibieron mis clases y me estimularon con sus dudas y sus preguntas. En algún momento tuve intención de preparar un manual introductorio sobre la base de estos apuntes, pero en este momento prefiero darlos a conocer tal cual están, pues dudo que encuentre el tiempo y las ganas para revisarlos y desarrollarlos. Ojalá sirvan para introducir a los lectores interesados en este campo. El enfoque que he seguido se aleja un tanto de los que son más habituales. En aquel año de 2002 decidí organizar mis explicaciones de manera temática y suprimir intencionalmente la exposición según escuelas en orden cronológico. Pero, a la vez, los temas elegidos reflejaban mis propias preferencias, de manera que el lector puede echar en falta ciertas temáticas que otros priorizan: tal ausencia es, como digo, intencional.

The question of the semantic interpretation of higher-order logics has long been a matter of contention. Even though second-order quantification is quite natural, entangled interpretations have famously caused philosophers of logic such as Quine to reject second-order logic completely. In this paper I take a liberal attitude, open to maximizing the scope of logic, but careful to avoid conflation with other disciplines – and to avoid epistemological confusion. Higher-order logic (HOL) is perfectly acceptable, but one should be careful as to which semantics deserves to be called " standard ".

The celebrated “creation” of transfinite set theory by Georg Cantor has been studied in detail by historians of mathematics. However, it has generally been overlooked that his research program cannot be adequately explained as an outgrowth of the mainstream mathematics of his ...

This colective book, edited by Karine Chemla, J Ferreirós, Lizhen Ji, Erhard Scholz & Chang Wang, is a unique introduction to historiographical questions concerning the history of mathematics, with essays by many leading scholars, aimed at guiding newcomers to the field.
It provides multiple perspectives on mathematics, its role in culture, development, connections with other sciences, with philosophy, etc.

¿Sientes curiosidad por el papel de las matemáticas en las ciencias naturales? ¿Te gustaría conocer los motivos que han llevado a una matemática (y una física) muy abstracta? ¿Quieres comprender la polémica sobre las geometrías euclidiana y no-euclidianas? ¿Y entender qué es la topología? Esta pequeña obra propone a sus lectores acometer el recorrido histórico de las matemáticas en la comprensión científica de la naturaleza, siguiendo el camino que lleva de la geometría a la topología. De esta manera, a lo largo de cuatro partes o «jornadas» (al modo de Galileo en su libro sobre los «grandes sistemas del mundo»), se presentan algunas de las ideas clave de la geometría en diversas épocas, desde Euclides en la Antigüedad hasta la topología del siglo XX. Así, los lectores podrán comprender algunos importantes cambios en la configuración del conocimiento, incluyendo la «matemática de las estructuras», y verán también ejemplos tipo de cómo el pensamiento geométrico ha permitido la comprensión de importantes fenómenos científicos. Estas ideas se discuten en su contexto histórico, hecho que favorece una asimilación no necesariamente especializada a la que contribuye el empleo de un vocabulario sin excesivos tecnicismos. El resultado final es un libro lleno de contenido científico, cultural, filosófico e histórico, pero que se lee con facilidad.

Introduction and chapter 10 of the original, Spanish edition of my book on the history of set theory. Chapter 10 is on the philosophical facets of the history of set theory -- being the only one that didn't have a counterpart in the English edition (Labyrinth of Thought).

Editores José Ferreirós Domínguez; Abel Lassalle Casanave (Univ Federal da Bahía, Brasil).
En las últimas dos décadas se ha asistido a una serie de innovaciones en el análisis del conocimiento matemático. Por un lado, han aparecido contribuciones notables desde la neurociencia y las ciencias cognitivas, por otro lado, se ha prestado creciente atención a la práctica matemática desde perspectivas filosóficas e históricas. El libro que el lector tiene en sus manos reúne una serie de trabajos que discuten las innovaciones mencionadas, incluyendo temáticas que se exponen por primera vez en nuestro idioma. Sus autores vienen colaborando desde hace años, en conexión con los Coloquios Cono Sur de Filosofía de las Ciencias Formales y con la Association for the Philosophy of Mathematical Practice (APMP), de la que son miembros fundadores ambos editores.
Los trabajos de la Parte I examinan diversos aspectos de la poderosa corriente reciente de estudios sobre la cognición matemática y sus bases neurológicas. En la Parte II se examinan diferentes aspectos relacionados con las aportaciones de cuño lógico-matemático de Frege, Dedekind, Peano, Rusell & Whitehead, y Godel a la teoría de números y su aclaración filosófica. Los trabajos de la Parte III giran en torno del problema de la certeza del conocimiento aritmético desde la perspectiva de la práctica matemática.

This book presents a new approach to the epistemology of mathematics by viewing mathematics as a human activity whose knowledge is intimately linked with practice. The crucial idea of a continuum is used to provide an account of the development of mathematical knowledge that reflects the actual experience of doing math and makes sense of the perceived objectivity of mathematical results.

¿Hubo una crisis en la matemática del siglo XX? Algunos desarrollos de la ciencia en el siglo XX han alcanzado una gran repercusión pública, al menos entre el público ilustrado. Es el caso de las revoluciones de la física (teorías de la relatividad y teorías cuánticas), es el caso de la biología molecular, la genética y sus aplicaciones (estructura del ADN, ingeniería genética), y es el caso también de la célebre crisis de fundamentos en matemáticas, durante el primer tercio del siglo XX. La historia popular de este último episodio habla del esfuerzo y los sufrimientos de unos pocos por introducir rigor lógico en matemáticas, y por investigar lo infinito bajo la forma de la teoría de conjuntos; de la dramática aparición hacia 1900 de las paradojas lógicas o conjuntistas, que pusieron en tela de juicio el objetivo apenas logrado; y de la subsiguiente confusión y lucha de escuelas, aparentemente irreconciliables, en la búsqueda de soluciones a la crisis. El fenómeno resultó sorprendente y casi hipnótico para quienes tuvieron noticia de él, ya que en la matemática, considerada antes paradigma de certeza, evidencia y acuerdo, se abría la caja de Pandora y aparecían dudas, inseguridades, desacuerdos, incertidumbres. Todo un modelo del cambio en la concepción del conocimiento que ha tenido lugar en el siglo XX, de la emergencia de concepciones falibilistas, del sentimiento de pérdida de la certidumbre que se ha instalado en la conciencia de los matemáticos y científicos más reflexivos.