Метрика Шварцшильда

Метрика Шварцшильда - розв'язок рівнянь Ейнштейна для сферично-симетричного розподілу мас в порожнечі за межами мас. Описує викривлений простір-час навколо масивного тіла.

У метриці Шварцшильда просторово-часовий інтервал задається формулою.

$ds^{2}=\left(1-{\frac {R_{g}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2})-{\frac {dr^{2}}{1-R_{g}/r}}$.

В цій формулі $R_{g}={\frac {2MG}{c^{2}}}$ - гравітаційний радіус. Метрика залежить тільки від повної маси тіл M. Інші величини в формулі: G - гравітаційна стала, c - швидкість світла.

Розв'язок отримав у 1916 році Карл Шварцшильд. Важливість цього розв'язку в тому, що він теоретично визначив можливість утворення чорних дір.

Метрика Шварцшильда справедлива не лише для непорушного тіла, а й для тіла, що може розширятися чи стискатися - необхідно тільки, щоб розподіл залишався симетричним.

Для отримання метрики всередині гравітаційних мас необхідно знати розподіл їхньої густини в просторі або рівняння стану.

Викривлення простору

Викривлення простору можна проілюструвати тим фактом, що віддаль між двома точками $r_{1}$ і $r_{2}$ на одному промені дорівнює

$\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\frac {dr}{\sqrt {1-R_{g}/r}}}$

і більша за $r_{2}-r_{1}$. Це аналогічно тому, як довжина відрізка кола між двома точками на колі більша за довжину хорди, що сполучає їх.

Значення

Метрика Шварцшильда дозволила визначити викривлення шляху світлового променя поблизу масивного тіла, що стало одним із експериментальних підтверджень загальної теорії відносності.

Крім того, аналіз стану масивного тіла показує, що при достатньо великій масі, для такого тіла можен не існувати стаціонарного радіусу, воно стискатиметься. Процес стистення отримав назву гравітаційного колапсу.