Sedemkotnik

Pravilni sedemkotnik

Nepravilni sedemkotnik

Sédemkótnik ali sedmerokótnik ali s tujko héptagon (starogrško heptagōnos < hepta - sedem + gōnos - ki ima kote) je v ravninski geometriji mnogokotnik s sedmimi stranicami, sedmimi oglišči in sedmimi notranjimi koti.

Sedemkotnik včasih imenujejo tudi septagon, kjer je predpona sept- (elizija številčne predpone septua-, izvedene iz latinščine).

Splošne značilnosti

V pravilnem sedemkotniku so vse stranice in koti enaki, notranji kot pa znaša 5π/7 radianov, oziroma 128,5714286 stopinj. Vsota notranjih kotov v preprostem sedemkotniku je enaka:

$S_{7}=(7-2)\cdot 180^{\circ }=900^{\circ }\!\,.$

Njegov Schläflijev simbol je {7}.

Dolžina stranice $a\,\!$ je:

$a=2R\sin {\frac {\pi }{7}}\approx 0,86777R\!\,,$

kjer je R polmer očrtane krožnice.

Obseg

Obseg sedemkotnika z dolžino stranice $a\,\!$ je:

$o=7a\!\,.$

Ploščina

Ploščina pravilnega sedemkotnika z dolžino stranice $a\,\!$ je:

$p={\frac {7}{4}}\,\operatorname {ctg} \,\left({\frac {\pi }{7}}\right)a^{2}\approx 3,63391a^{2}\!\,.$

To se lahko vidi, če se razdeli sedemkotnik s stranico dolžine 1 na sedem trikotniških rezin z vrhovi v središču in ogliščih sedemkotnika, potem pa se vsak trikotnik s pomočjo apoteme kot skupne stranice razdeli na pol. Dolžina apoteme je polovica kotangensa $\pi /7\,$, ploščina vsakega od 14-ih majhnih trikotnikov je 1/4 dolžine apoteme.

Točen algebrski izraz prek polinoma $x{3}+x{2}-2x\,$ (ena od njegovih ničel je $2\cos {\tfrac {2\pi }{7}}$) je dan z:

$p={\frac {1}{4}}{\sqrt {{\frac {7}{3}}\left(35+2{\sqrt[{3}]{196(13-3i{\sqrt {3}})}}+2{\sqrt[{3}]{196(13+3i{\sqrt {3}})}}\right)}}a^{2}\!\,,$

kjer je $i\,$ imaginarna enota.

Ploščina pravilnega sedemkotnika s polmerom očrtane krožnice $R\,\!$ je:

$p={\frac {7}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{7}}\approx 2,73641R^{2}\!\,.$

Ploščina očrtanega kroga je $\pi R^{2}\,$, tako da ga pravilni sedemkotnik napolni približno za vrednost:

${\frac {7\sin {\frac {2\pi }{7}}}{2\pi }}\approx 0,87103\!\,.$

Konstrukcija

Pravilnega sedemkotnika se ne da skonstruirati z ravnilom in šestilom. Obstaja pa več približnih geometrijskih konstrukcij.

Viri

• Gleason, Andrew Mattei (1988-03), »Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon« (PDF), The American Mathematical Monthly, 95: 185–194 {{citation}}: Neveljaven |ref=harv (pomoč); Preveri datumske vrednosti v: |date= (pomoč)

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Heptagon«. MathWorld.