Sedemkotnik: Razlika med redakcijama
m r2.7.1) (robot Dodajanje: uk:Правильний семикутник |
m --odvečna np na razločitev |
||
(36 vmesnih redakcij 10 uporabnikov ni prikazanih) | |||
Vrstica 1: | Vrstica 1: | ||
[[Slika:Heptagon.svg|thumb|right|200px|Pravilni sedemkotnik]] |
[[Slika:Heptagon.svg|thumb|right|200px|Pravilni sedemkotnik]] |
||
[[Slika:Heptagon2 (PSF). |
[[Slika:Heptagon2 (PSF).svg|thumb|right|200px|Nepravilni sedemkotnik]] |
||
'''Sédemkótnik''' ali '''sedmerokótnik''' ali s [[tujka|tujko]] '''héptagon''' ([[stara grščina|starogrško]] heptagōnos |
'''Sédemkótnik''' ali '''sedmerokótnik''' ali s [[tujka|tujko]] '''héptagon''' ([[stara grščina|starogrško]] heptagōnos, iz hepta – ''sedem'' in gōnos – ''tak, ki ima [[kot]]e'') je v [[ravninska geometrija|ravninski geometriji]] [[mnogokotnik]] s [[7 (število)|sedmimi]] [[stranica]]mi, sedmimi [[oglišče|oglišči]] in sedmimi notranjimi [[kot]]i. |
||
Sedemkotnik včasih imenujejo tudi ''septagon'', kjer je [[predpona]] sept- ([[elizija]] [[številčna predpona|številčne predpone]] septua-, izvedene iz [[latinščina|latinščine]]). |
Sedemkotnik včasih imenujejo tudi ''septagon'', kjer je [[predpona]] sept- ([[elizija]] [[številčna predpona|številčne predpone]] septua-, izvedene iz [[latinščina|latinščine]]). |
||
== Splošne |
== Splošne značilnosti == |
||
V [[pravilni mnogokotnik|pravilnem]] sedemkotniku so vse stranice in koti enaki, [[notranji kot]] pa znaša 5π/7 [[radian]]ov, oziroma 128,5714286 [[kotna stopinja|stopinj]]. |
V '''[[pravilni mnogokotnik|pravilnem]] sedemkotniku''' so vse [[enakostranični mnogokotnik|stranice]] in [[enakokotni mnogokotnik|koti enaki]], [[notranji kot]] pa znaša 5π/7 [[radian]]ov, oziroma 128 4/7 = 128,5714286... [[kotna stopinja|stopinj]]. Vsota notranjih kotov v [[preprosti mnogokotnik|preprostem]] sedemkotniku je enaka: |
||
: <math> S_{7}=(7-2)\cdot 180^{\circ} = 900^{\circ} \!\, . </math> |
|||
Dolžina stranice: |
|||
Njegov [[Schläflijev simbol]] je {7}. |
|||
Dolžina stranice <math>a\,\!</math> je: |
|||
: <math> a = 2 R \sin \frac{\pi}{7} \approx 0,86777 R \!\, , </math> |
: <math> a = 2 R \sin \frac{\pi}{7} \approx 0,86777 R \!\, , </math> |
||
kjer je ''R'' polmer [[ |
kjer je ''R'' polmer [[očrtana krožnica|očrtane krožnice]]. |
||
== Obseg == |
== Obseg == |
||
[[Obseg]] sedemkotnika |
[[Obseg]] sedemkotnika z dolžino stranice <math>a\,\!</math> je: |
||
: <math> o = 7a \!\, . </math> |
: <math> o = 7a \!\, . </math> |
||
Vrstica 24: | Vrstica 28: | ||
== Ploščina == |
== Ploščina == |
||
[[Ploščina]] pravilnega sedemkotnika |
[[Ploščina]] pravilnega sedemkotnika z dolžino stranice <math>a\,\!</math> je: |
||
: <math> p = \frac{7}{4 |
: <math> p = \frac{7}{4} \, \operatorname{ctg} \, \left( \frac{\pi}{7} \right) a^{2} \approx 3,63391 a^{2} \!\, . </math> |
||
To se lahko vidi, če se razdeli sedemkotnik s stranico dolžine 1 na sedem trikotniških rezin z vrhovi v središču in ogliščih sedemkotnika, potem pa se vsak trikotnik s pomočjo [[apotema|apoteme]] kot skupne stranice razdeli na pol. Dolžina apoteme je polovica kotangensa <math>\pi/7\, </math>, ploščina vsakega od 14-ih majhnih trikotnikov je 1/4 dolžine apoteme. |
|||
oziroma s polmerom očrtanega kroga ''R'': |
|||
Točen [[algebrski izraz]] prek [[polinom]]a <math>x {3} + x {2} - 2x\, </math> (ena od njegovih [[ničla funkcije|ničel]] je <math>2\cos \tfrac{2\pi}{7}</math>)<ref name="Gleason">{{sktxt|Gleason|1988|loc=str. 186 (sl. 1) –187}}.</ref>{{rp|186–187}} je dan z: |
|||
: <math> p = \frac{1}{4}\sqrt{\frac{7}{3}\left(35+2\sqrt[3]{196(13-3i\sqrt{3})}+2\sqrt[3]{196(13+3i\sqrt{3})}\right)}a^2 \!\, , </math> |
|||
kjer je <math>i\, </math> [[imaginarna enota]]. |
|||
Ploščina pravilnega sedemkotnika s polmerom očrtane krožnice <math>R\,\!</math> je: |
|||
: <math> p = \frac{7}{2}R^{2} \sin \frac{2\pi}{7} \approx 2,73641 R^{2} \!\, . </math> |
: <math> p = \frac{7}{2}R^{2} \sin \frac{2\pi}{7} \approx 2,73641 R^{2} \!\, . </math> |
||
Ploščina očrtanega kroga je <math>\pi R^{2}\, </math>, tako da ga pravilni sedemkotnik napolni približno za vrednost: |
|||
: <math> \frac{7 \sin \frac{2\pi}{7}}{2\pi} \approx 0,87103 \!\, . </math> |
|||
== Konstrukcija == |
== Konstrukcija == |
||
Pravilnega sedemkotnika |
Pravilnega sedemkotnika se ne da [[Gauss-Wantzlov izrek|skonstruirati]] [[geometrijska konstrukcija|z ravnilom in šestilom]]. Obstaja pa več približnih geometrijskih konstrukcij. |
||
== Simetrija == |
|||
[[slika:Symmetries_of_heptagon.png|thumb|right|200px|[[simetrija|Simetrije]] pravilnega sedemkotnika. [[oglišče|Oglišča]] so pobarvana glede na njihove simetrijske lege. [[modra|Modre]] [[premica|premice]] [[zrcaljenje|zrcaljenj]] so narisane skozi oglišča in [[stranica|stranice]]. Redi giracij so podani v središču.]] |
|||
Pravilni sedemkotnik ima [[diedrska simetrija|simetrijo Dih<sub>7</sub>]], reda 14. Ker je 7 [[praštevilo]], obstaja ena [[podgrupa]] z diedrsko simetrijo: Dih<sub>1</sub>, in 2 simetriji [[ciklična grupa|ciklične grupe]]: Z<sub>7</sub> in Z<sub>1</sub>. |
|||
Te 4 simetrije se lahko vidijo v 4-h različnih simetrijah sedemkotnika. [[John Horton Conway|Conway]] jih je označil s črko in z redom grupe.<ref>{{sktxt|Conway|Burgiel|Goodman-Strauss|2008|pp=275-278}}.</ref> Polna simetrija pravilne oblike je '''r14''' in nobena simetrija ni označena z '''a1'''. Diedrske simetrije so razdeljene glede na to ali potekajo skozi oglišča ('''d''' za diagonalo) ali stranice ('''p''' za pravokotnice), in '''i''' kadar premice zrcaljenj potekajo skozi oglišča in stranice. Ciklične simetrije v srednjem stolpcu so označene z '''g''' za njihove središčne redove giracij. |
|||
Vsaka simetrija podgrupe dovoljuje eno ali več [[prostostna stopnja|prostostnih stopenj]] za nepravilne oblike. Le podgrupa '''g7''' nima prostostnih stopenj in se jo ima lahko za [[usmerjeni graf|usmerjene stranice]]. |
|||
== Pokritja == |
|||
[[slika:2-d heptagon packing dual.svg|thumb|right|200px|Najgostejše znano [[teselacija|pokritje]] [[evklidska ravnina|evklidske]] [[ravnina|ravnine]] s sedemkotniki, ki so usmerjeni na dva načina (obarvano različno). [[Tapetna grupa]] takšnega pokritja je ''pmg'' (22*)]] |
|||
[[slika:Uniform tiling 73-t0.png|thumb|right|200px|[[Poincaréjev krožni model]] [[sedemkotniško tlakovanje|sedemkotniškega pokritja]] [[hiperbolična ravnina|hiperbolične ravnine]]]] |
|||
Sedemkotnik [[seznam pravilnih politopov|pravilno]] ne [[teselacija|pokrije]] [[evklidska ravnina|evklidske]] [[ravnina|ravnine]] v celoti in največja gostota pokritja je enaka:<ref>{{sktxt|Baez|2014}}.</ref> |
|||
: <math> \frac{2}{97} \left( -111 + 492 \cos \left( \frac{\pi}{7} \right) - 356 \cos^{2} \left( \frac{\pi}{7} \right) \right) = 0,89269068\ldots \!\, . </math> |
|||
Sedemkotnik lahko [[sedemkotniško tlakovanje|pokrije]] [[hiperbolična ravnina|hiperbolično ravnino]], kot je razvidno v [[Poincaréjev krožni model|Poincaréjevem krožnem modelu]]. |
|||
== Galerija == |
|||
<gallery> |
|||
Get the point (301733819).jpg|Sedemkotnik na [[kaktus]]u |
|||
Ayerbe-Refollau.jpg|Slaščica iz [[Ayerbe]]ja |
|||
Manesson-Travaux-de-Mars 9697.tif|[[dvorazsežni prostor|Dvorazsežni]] načrt sedemkotniške [[fortifikacija|fortifikacije]], [[Alain Manesson Mallet]], ''Les Travaux de Mars ou l'Art de la Guerre'', 1696 |
|||
Rose à sept pointes de la façade occidentale.JPG|[[heptagram|Sedemkraka zvezda]] na [[cistercijani|cistercijanskem]] samostanu [[Beaulieu-en-Rouergue]] v [[Ginals]]u |
|||
Geometry problem-Sb 13088-IMG 0593-white.jpg|Geometrijski problem površine sedemkotnika razdeljenega na trikotnike na glineni ploščici, ki je pripadala šoli za pisanje, [[Susa, Perzija|Susa]], prva polovica 2. tisočletja pr. n. št. |
|||
</gallery> |
|||
== Glej tudi == |
|||
* [[heptagram]] |
|||
* [[sedemkotniško število]] |
|||
* [[sedemstrana prizma]] |
|||
== Sklici == |
|||
{{sklici|1}} |
|||
== Viri == |
|||
{{refbegin|2}} |
|||
* {{citat|last1= Baez|first1= John Carlos|authorlink1= John Carlos Baez|title= Packing Regular Heptagons|date= 2014-11-15|work= blogs.ams.org|accessdate= 2016-06-08|url= http://blogs.ams.org/visualinsight/2014/11/15/packing-regular-heptagons/|language= en}} |
|||
* {{citat|last1= Conway|first1= John Horton|authorlink1= John Horton Conway|last2= Burgiel|first2= Heidi|last3= Goodman-Strauss|first3= Chaim|date= 2008|title= The Symmetries of Things|isbn= 978-1-56881-220-5|cobiss= 29751813|chapter= 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon|pages= 275-278}} |
|||
* {{citat|last1= Gleason|first1= Andrew Mattei|authorlink1= Andrew Mattei Gleason|url= http://apollonius.math.nthu.edu.tw/d1/ne01/jyt/linkjstor/regular/7.pdf#3|title= Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon|journal= [[The American Mathematical Monthly]]|date= marec 1988|volume= 95|issue= |pages= 185–194}} |
|||
{{refend}} |
|||
== Zunanje povezave == |
== Zunanje povezave == |
||
{{Kategorija v Zbirki|Heptagons}} |
|||
{{kategorija v Zbirki|Heptagons|sedemkotnik}} |
|||
{{Mnogokotniki}} |
|||
* {{MathWorld|id=Heptagon|title=Heptagon}} |
|||
{{-}} |
|||
{{mnogokotniki}} |
|||
{{math-stub}} |
{{math-stub}} |
||
[[Kategorija:Mnogokotniki]] |
[[Kategorija:Mnogokotniki]] |
||
[[Kategorija:Osnovne oblike]] |
|||
[[ar:سباعي (مضلع)]] |
|||
[[ast:Heptágonu]] |
|||
[[az:Düzgün yeddibucaqlı]] |
|||
[[ca:Heptàgon]] |
|||
[[cs:Sedmiúhelník]] |
|||
[[da:Heptagon]] |
|||
[[de:Siebeneck]] |
|||
[[en:Heptagon]] |
|||
[[es:Heptágono]] |
|||
[[fa:هفتضلعی]] |
|||
[[fi:Seitsenkulmio]] |
|||
[[fr:Heptagone]] |
|||
[[gl:Heptágono]] |
|||
[[hu:Hétszög]] |
|||
[[it:Ettagono]] |
|||
[[ja:七角形]] |
|||
[[ka:ჰეპტაგონი]] |
|||
[[ko:칠각형]] |
|||
[[lmo:Eptàgon]] |
|||
[[lv:Septiņstūris]] |
|||
[[ms:Heptagon]] |
|||
[[nl:Zevenhoek]] |
|||
[[nn:Heptagon]] |
|||
[[no:Heptagon]] |
|||
[[pl:Siedmiokąt foremny]] |
|||
[[ps:اوڅنډی]] |
|||
[[pt:Heptágono]] |
|||
[[ru:Правильный семиугольник]] |
|||
[[sr:Седмоугао]] |
|||
[[sv:Heptagon]] |
|||
[[th:รูปเจ็ดเหลี่ยม]] |
|||
[[tr:Yedigen]] |
|||
[[uk:Правильний семикутник]] |
|||
[[zh:七边形]] |
Trenutna redakcija s časom 19:26, 13. februar 2024
Sédemkótnik ali sedmerokótnik ali s tujko héptagon (starogrško heptagōnos, iz hepta – sedem in gōnos – tak, ki ima kote) je v ravninski geometriji mnogokotnik s sedmimi stranicami, sedmimi oglišči in sedmimi notranjimi koti.
Sedemkotnik včasih imenujejo tudi septagon, kjer je predpona sept- (elizija številčne predpone septua-, izvedene iz latinščine).
Splošne značilnosti
[uredi | uredi kodo]V pravilnem sedemkotniku so vse stranice in koti enaki, notranji kot pa znaša 5π/7 radianov, oziroma 128 4/7 = 128,5714286... stopinj. Vsota notranjih kotov v preprostem sedemkotniku je enaka:
Njegov Schläflijev simbol je {7}.
Dolžina stranice je:
kjer je R polmer očrtane krožnice.
Obseg
[uredi | uredi kodo]Obseg sedemkotnika z dolžino stranice je:
Ploščina
[uredi | uredi kodo]Ploščina pravilnega sedemkotnika z dolžino stranice je:
To se lahko vidi, če se razdeli sedemkotnik s stranico dolžine 1 na sedem trikotniških rezin z vrhovi v središču in ogliščih sedemkotnika, potem pa se vsak trikotnik s pomočjo apoteme kot skupne stranice razdeli na pol. Dolžina apoteme je polovica kotangensa , ploščina vsakega od 14-ih majhnih trikotnikov je 1/4 dolžine apoteme.
Točen algebrski izraz prek polinoma (ena od njegovih ničel je )[1]:186–187 je dan z:
kjer je imaginarna enota.
Ploščina pravilnega sedemkotnika s polmerom očrtane krožnice je:
Ploščina očrtanega kroga je , tako da ga pravilni sedemkotnik napolni približno za vrednost:
Konstrukcija
[uredi | uredi kodo]Pravilnega sedemkotnika se ne da skonstruirati z ravnilom in šestilom. Obstaja pa več približnih geometrijskih konstrukcij.
Simetrija
[uredi | uredi kodo]Pravilni sedemkotnik ima simetrijo Dih7, reda 14. Ker je 7 praštevilo, obstaja ena podgrupa z diedrsko simetrijo: Dih1, in 2 simetriji ciklične grupe: Z7 in Z1.
Te 4 simetrije se lahko vidijo v 4-h različnih simetrijah sedemkotnika. Conway jih je označil s črko in z redom grupe.[2] Polna simetrija pravilne oblike je r14 in nobena simetrija ni označena z a1. Diedrske simetrije so razdeljene glede na to ali potekajo skozi oglišča (d za diagonalo) ali stranice (p za pravokotnice), in i kadar premice zrcaljenj potekajo skozi oglišča in stranice. Ciklične simetrije v srednjem stolpcu so označene z g za njihove središčne redove giracij.
Vsaka simetrija podgrupe dovoljuje eno ali več prostostnih stopenj za nepravilne oblike. Le podgrupa g7 nima prostostnih stopenj in se jo ima lahko za usmerjene stranice.
Pokritja
[uredi | uredi kodo]Sedemkotnik pravilno ne pokrije evklidske ravnine v celoti in največja gostota pokritja je enaka:[3]
Sedemkotnik lahko pokrije hiperbolično ravnino, kot je razvidno v Poincaréjevem krožnem modelu.
Galerija
[uredi | uredi kodo]-
Sedemkotnik na kaktusu
-
Slaščica iz Ayerbeja
-
Dvorazsežni načrt sedemkotniške fortifikacije, Alain Manesson Mallet, Les Travaux de Mars ou l'Art de la Guerre, 1696
-
Geometrijski problem površine sedemkotnika razdeljenega na trikotnike na glineni ploščici, ki je pripadala šoli za pisanje, Susa, prva polovica 2. tisočletja pr. n. št.
Glej tudi
[uredi | uredi kodo]Sklici
[uredi | uredi kodo]- ↑ Gleason (1988), str. 186 (sl. 1) –187.
- ↑ Conway; Burgiel; Goodman-Strauss (2008), str. 275-278.
- ↑ Baez (2014).
Viri
[uredi | uredi kodo]- Baez, John Carlos (15. november 2014), »Packing Regular Heptagons«, blogs.ams.org (v angleščini), pridobljeno 8. junija 2016
- Conway, John Horton; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (2008), »20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon«, The Symmetries of Things, str. 275–278, COBISS 29751813, ISBN 978-1-56881-220-5
- Gleason, Andrew Mattei (Marec 1988), »Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon« (PDF), The American Mathematical Monthly, 95: 185–194
Zunanje povezave
[uredi | uredi kodo]