Grupa doskonała

Grupa doskonała – grupa pokrywająca się ze swoim komutantem lub równoważnie grupa niemająca nietrywialnych ilorazów abelowych. O grupach takich można myśleć jako o „wyjątkowo nieprzemiennych”.

Definicja

Grupa $G$ jest doskonała, jeżeli zachodzi $[G,G]=G.$

Własności

• Jeżeli $G$ jest doskonała, a $N\trianglelefteq G$ jest normalną podgrupą cykliczną, to $K\leqslant Z(G)$

Przykłady

• Najmniejsza (nietrywialna) grupa doskonała to grupa alternująca $A_{5}.$
• Ogólniej, każda nieprzemienna grupa prosta jest doskonała, ponieważ komutant jest podgrupą normalną z przemiennym ilorazem.
• Każda grupa acykliczna jest doskonała, twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe: $A_{5}$ jest doskonała, ale nie jest acykliczna (nie jest nawet superdoskonała).

Zobacz też

• abelianizacja

Bibliografia

• A. Jon Berrick, Jonathan A. Hillman, Perfect and acyclic subgroups of finitely presentable groups, „Journal of the London Mathematical Society” (2) 68 (2003), nr 3, s. 683–698.
• A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.