Grupa diedralna

Grupa diedralna – grupa izometrii płaszczyznowych wielokąta foremnego przekształcająca go na siebie (tzw. „izometrii własnych”) albo ogólniej: dowolna grupa o strukturze identycznej ze strukturą grupy symetrii tego wielokąta (tzn. z nią izomorficzną). Można ją także traktować jako grupę izometrii parzystych (tzn. zachowujących orientację) dwuścianu foremnego w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej: symetriom wielokąta odpowiadają obroty przestrzeni trójwymiarowej.

Płatki śniegu przejawiają symetrię dwuścienną sześciokąta foremnego.

Ponieważ dla $n\geqslant 3$ grupa symetrii $n$-kąta foremnego ma $2n$ elementów, to spotyka się dwa sposoby oznaczania tej grupy: symbolem $\mathrm {D} _{n},$ który wyróżnia liczbę krawędzi wielokąta (tj. stopień) oraz $\mathrm {D} _{2n},$ gdzie kładzie się nacisk na liczbę jej elementów (tj. rząd) – w dalszej części artykułu stosowana będzie pierwsza z notacji.

Definicję można rozszerzyć również na mniejsze od $3$ liczby naturalne: jeśli $n=2,$ to utożsamia się ją z grupą czwórkową Kleina; gdy $n=1,$ to grupa ta jest izomorficzna z dwuelementową grupą cykliczną $2$ (jedyną grupą tego rzędu); dla $n=0$ przyjmuje się, iż jest to grupa trywialna.

Elementy i generatory

Grupa diedralna trójkąta równobocznego składa się z trzech obrotów (o 120°, 240° i 360°) wokół środka tego trójkąta zamieniających cyklicznie kolory wierzchołków i trzech symetrii osiowych (przechodzących przez każdy wierzchołek i środek przeciwległego boku) zamieniających kolory dwóch wierzchołków przy zachowaniu koloru trzeciego – można wyobrażać je sobie jako obrót o 180° wokół osi symetrii w przestrzeni trójwymiarowej.

Niech $n\geqslant 2$ oraz $\mathrm {r}$ oznacza obrót płaszczyzny o kąt ${\tfrac {360^{\circ }}{n}}$ wokół ustalonego jej punktu $p,$ zaś $\mathrm {s}$ będzie jej dowolną symetrią osiową przechodzącą przez $p.$ Ponieważ $k$-krotne złożenie $\mathrm {r}$ ze sobą jest w istocie obrotem o ${\tfrac {360^{\circ }\cdot k}{n}};$ w szczególności $n$-krotne złożenie $\mathrm {r}$ jest obrotem o kąt pełny, który jest identycznością, tzn. $\mathrm {r} ^{n}=\mathrm {id} ,$ to $\mathrm {r}$ jest elementem rzędu $n$ grupy $\mathrm {D} _{n}.$ Podobnie $\mathrm {s}$ jest elementem rzędu drugiego, gdyż $\mathrm {s} ^{2}=\mathrm {id}$ (z punktu widzenia teorii grup symetria osiowa jest więc transpozycją; z punktu widzenia geometrii jest inwolucją, gdyż sama stanowi swoją odwrotność). O wyniku złożenia obrotu $\mathrm {r}$ z symetrią osiową $\mathrm {s}$ można myśleć na kilka sposobów:

• symetria osiowa zmienia orientację płaszczyzny na przeciwną, zatem obrót nią poprzedzony będzie odbywał się w przeciwnym kierunku niż wyjściowy, kolejna symetria osiowa przywraca orientację płaszczyzny – w ten sposób

$\mathrm {srs} ^{-1}=\mathrm {srs} =\mathrm {r} ^{-1};$

• z drugiej strony obrót „wybiera” oś symetrii po nim zastosowanej, kolejny obrót „przywracający” pierwotną oś musi być odwrotny ze względu na przyłożoną symetrię, a więc identyczny z pierwszym obrotem, tzn.

$\mathrm {s} =\mathrm {r} ^{-1}\mathrm {sr} ^{-1};$

• podobnie rozumując można uzasadnić tożsamość

$\mathrm {rs} =\mathrm {sr} ^{-1}$

mówiącą o tym, że obrót poprzedzony symetrią daje ten sam wynik, co symetria poprzedzona obrotem w przeciwnym kierunku. W szczególności dla $n\geqslant 3$ grupa $\mathrm {D} _{n}$ nie jest abelowa (przemienna), gdyż wtedy $\mathrm {r} \neq \mathrm {r} ^{-1}.$

Rozpatrując wyłącznie przekształcenia obrotów wokół wspólnego punktu i symetrii o osiach przechodzących przez ten wyróżniony punkt, jak ma to miejsce w wyżej opisywanej sytuacji, można zauważyć, że złożenie dwóch obrotów bądź dwóch symetrii jest obrotem, a złożenie symetrii z obrotem bądź obrotu z symetrią jest symetrią – w ten sposób przekształcenia tworzą zbiór zamknięty ze względu na ich składanie. Ponieważ składanie jest łączne, a każde ze składanych przekształceń ma przekształcenie do niego odwrotne, to przekształcenia te tworzą grupę. Dokładniej: z danego obrotu $\mathrm {r}$ można uzyskać $n$ obrotów (wliczając w to sam obrót $\mathrm {r}$ i obrót trywialny $\mathrm {id}$) poprzez składanie ich ze sobą, a składając symetrię $\mathrm {s}$ z tymi obrotami otrzymuje się $n$ symetrii (wliczając w to symetrię $\mathrm {s}$ przy obrocie trywialnym $\mathrm {id}$), to grupa tych przekształceń ma $2n$ elementów postaci $\mathrm {r} ,\mathrm {r} ^{2},\dots ,\mathrm {r} ^{n},\mathrm {sr} ,\mathrm {sr} ^{2},\dots ,\mathrm {sr} ^{n},$ gdzie $\mathrm {r} ^{n}=\mathrm {id}$ oraz $\mathrm {sr} ^{n}=\mathrm {s} .$

Wspomniana grupa może być rozpatrywana jako podgrupa grupy wszystkich symetrii $n$-kąta foremnego. Jak pokazano wyżej, jest ona generowana przez obrót $\mathrm {r}$ rzędu $n$ i symetrię $\mathrm {s}$ rzędu $2$ bądź przez dwie symetrie $\mathrm {s} ,\mathrm {rs}$ rzędu $2$.

Własności i charakteryzacja

Rozkład grupy na klasy sprzężoności, tzn. podzbiory elementów zamkniętych ze względu na branie sprzężeń (automorfizmów wewnętrznych), zależy od jej stopnia $n$:

• dla nieparzystego:

  $\{\mathrm {id} \},\left\{\mathrm {r} ^{\pm 1}\right\},\dots ,\left\{\mathrm {r} ^{\pm (n-1)/2}\right\},\left\{\mathrm {r} ^{i}s\colon 0\leqslant i<n\right\};$

• dla parzystego:

  $\{\mathrm {id} \},\left\{\mathrm {r} ^{\pm 1}\right\},\dots ,\left\{\mathrm {r} ^{\pm (n/2-1)}\right\},\left\{\mathrm {r} ^{n/2}\right\},\left\{\mathrm {r} ^{2i}s\colon 0\leqslant i<{\tfrac {n}{2}}\right\},\left\{\mathrm {r} ^{2i+1}s\colon 0\leqslant i<{\tfrac {n}{2}}\right\}.$

Parzyste izometrie własne foremnego dwuścianu sześciokątnego na sferze (tj. przedstawionego jako wielościan sferyczny) tworzą grupę o tej samej strukturze, co grupa wszystkich izometrii własnych sześciokąta foremnego.

Klasy te mają odpowiednio $1,2,\dots ,2,n$ oraz $1,2,\dots ,2,1,n/2,n/2$ elementów. Dla $n\geqslant 3$ centrum grupy $\mathrm {D} _{n}$ jest trywialne w przypadku nieparzystym i równe $\left\{\mathrm {id} ,\mathrm {r} ^{n/2}\right\}$ w przypadku parzystym. Wynika stąd, że jeśli $n\geqslant 6$ jest dwukrotnością liczby nieparzystej, to $\mathrm {D} _{n}\simeq \mathrm {D} _{n/2}\times \mathbb {Z} _{2}$; w ogólności $\mathrm {D} _{n}$ jest zawsze izomorficzna z iloczynem półprostym $\mathbb {Z} _{n}\rtimes \mathbb {Z} _{2}.$ Komutant grupy $\mathrm {D} _{n}$ to $\langle r^{2}\rangle$.

Jeśli $G=\langle a,b\rangle$ (z elementem neutralnym $e$), gdzie $a^{n}=e$ dla pewnego $n\geqslant 3$ oraz $b^{2}=e,$ a ponadto $bab^{-1}=a^{-1},$ to istnieje epimorfizm $\mathrm {D} _{n}\to G;$ jeśli $|G|=2n,$ to epimorfizm ten jest izomorfizmem. Wspomniany epimorfizm jest wyznaczony jednoznacznie, zatem $\mathrm {D} _{n}$ jest uniwersalna jako grupa o dwóch generatorach spełniających jedno z trzech równań z poprzedniej sekcji. Z twierdzenia tego wynika istnienie reprezentacji $\mathrm {D} _{n}$ w postaci grupy macierzy stopnia $2$ nad $\mathbb {Z} _{n},$ mianowicie zbiór macierzy

${\tilde {\mathrm {D} _{n}}}=\left\{{\begin{bmatrix}\pm 1&c\\0&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {Z} _{n}\right\}$

tworzy podgrupę pełnej grupy liniowej $\mathrm {GL} (2,\mathbb {Z} _{n});$ grupę tę można również przedstawić za pomocą wielomianów nad $\mathbb {Z} _{n}$ postaci $\mathrm {f} (x)=\varepsilon x+c,$ gdzie $\varepsilon =\pm 1,$ a wyraz $c$ jest dowolny – składanie tego rodzaju wielomianów liniowych odpowiada mnożeniu powyższych macierzy; przedstawienia tego nie należy mylić z geometryczną reprezentacją $\mathrm {D} _{n}$ jako podgrupy $\mathrm {GL} (2,\mathbb {R} )$ w postaci izometrii własnych $\mathbb {R} ^{2}$ generowaną za pomocą macierzy obrotu i odbicia,

${\begin{bmatrix}\cos {\tfrac {2\pi }{n}}&-\sin {\tfrac {2\pi }{n}}\\\sin {\tfrac {2\pi }{n}}&\ \ \cos {\tfrac {2\pi }{n}}\end{bmatrix}},\qquad {\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}};$

macierze te, traktowane jako liczby zespolone, odpowiadają pierwiastkowi pierwotnemu z jedynki stopnia $n$ oraz sprzężeniu zespolonemu tworzącym grupę (z działaniem mnożenia zespolonego) izomorficzną z $\mathrm {D} _{n}.$

Jak opisano to w poprzedniej sekcji, grupa diedralna może być generowana przez dwa elementy rzędu $2.$ Niech $G=\langle x,y\rangle ,$ przy czym $x^{2}=y^{2}=e.$ Jeśli $x$ oraz $y$ komutują (tzn. $xy=yx$), to $G=\{e,x,y,xy\}$ – grupa ta jest izomorficzna z grupą czwórkową, o ile $x\neq y;$ w przeciwnym przypadku $G=\{e,x\}=\langle x\rangle$ jest grupą cykliczną rzędu $2.$ Jeżeli $x$ i $y$ nie komutują, to $G$ ma strukturę grupy diedralnej, tzn. jeśli $G$ jest skończoną grupą nieabelową generowaną przez dwa elementy rzędu $2,$ to jest ona izomorficzna z grupą diedralną. Na podstawie tych dwóch obserwacji można przyjąć następującą definicję:

Ogólna definicja grupy diedralnej

Grupa skończona generowana przez dwa elementy drugiego rzędu.

Większość własności z poprzedniej sekcji obowiązuje dla $n>0,$ a nie tylko $n\geqslant 3$ – wyjątkami są stwierdzenie dotyczące postaci centrum oraz modelu $\mathrm {D} _{n}$ nad $\mathbb {Z} _{n};$ ponadto $\mathrm {D} _{n}$ nie można wtedy zanurzyć w $\mathrm {S} _{n},$ gdyż $2n>n!$ dla $n\leqslant 2.$

W dowolnej grupie skończonej zawierającej dwa elementy $x,y$ rzędu $2$ element $x$ musi być sprzężony z $y,$ bądź $x$ i $y$ komutują ze wspólnym elementem rzędu $2.$ Dowolny nietrywialny obraz homomorficzny grupy diedralnej jest grupą diedralną.

Struktura podgrup

Dowolna podgrupa grupy $\mathrm {D} _{n}$ jest:

• cykliczna, postaci $\langle \mathrm {r} ^{d}\rangle ,$ gdzie $d|n,$ i indeksu $2d;$ bądź
• diedralna, postaci $\langle \mathrm {r} ^{d},\mathrm {r} ^{i}\mathrm {s} \rangle ,$ gdzie $d|n$ oraz $0\leqslant i<d,$ i indeksu $d;$

postaci podgrup są przy tym jednoznaczne. Jeśli $n$ jest nieparzysta i $m|2n,$ to istnieje $m$ podgrup $\mathrm {D} _{n}$ indeksu $m$ dla nieparzystej $m$ (sprzężonych z $\langle \mathrm {r} ^{m},\mathrm {s} \rangle$) oraz jedna podgrupa $\mathrm {D} _{n}$ indeksu $m$ dla parzystego $m$ (równej $\langle \mathrm {r} ^{m/2}\rangle$), a ponadto jeżeli $n$ jest parzysta i $m|2n,$ to

• jeśli $m$ jest nieparzysta, to istnieje $m$ podgrup grupy $\mathrm {D} _{n}$ indeksu $m$ (sprzężonych z $\langle \mathrm {r} ^{m},\mathrm {s} \rangle$),
• jeśli $m$ jest parzysta i nie dzieli $n,$ to istnieje tylko jedna podgrupa grupy $\mathrm {D} _{n}$ indeksu $m$ (równa $\langle \mathrm {r} ^{m/2}\rangle$),
• jeśli $m$ jest parzysta i $m|n,$ to istnieje $m+1$ podgrup grupy $\mathrm {D} _{n}$ indeksu $m$ (i dowolna podgrupa indeksu $m$ jest równa $\langle \mathrm {r} ^{m/2}\rangle$ bądź sprzężona z dokładnie jedną z grup $\langle \mathrm {r} ^{m},\mathrm {s} \rangle$ lub $\langle \mathrm {r} ^{m},\mathrm {rs} \rangle$).

Wynika stąd, że jeżeli $n$ jest nieparzysta, to właściwymi podgrupami normalnymi w $\mathrm {D} _{n}$ są $\langle \mathrm {r} ^{d}\rangle$ dla $d|n$ − są to grupy parzystego indeksu – a jeżeli $n$ jest parzysta, to właściwymi podgrupami normalnymi w $\mathrm {D} _{n}$ są $\langle \mathrm {r} ^{d}\rangle$ indeksu $d,$ gdy $d|n$ oraz $\langle \mathrm {r} ^{2},\mathrm {s} \rangle$ i $\langle \mathrm {r} ^{2},\mathrm {rs} \rangle$ indeksu $2.$ W szczególności istnieje przynajmniej jedna podgrupa normalna każdego indeksu w $\mathrm {D} _{n}$ poza trzema podgrupami normalnymi $\langle \mathrm {r} \rangle ,\langle \mathrm {r} ^{2},\mathrm {s} \rangle ,\langle \mathrm {r} ^{2},\mathrm {rs} \rangle$ indeksu $2$ dla parzystego $n.$

Łączna liczba podgrup w $\mathrm {D} _{n}$ dla $n\geqslant 3$ wynosi $d(n)+\sigma (n),$ gdzie $d(n)$ oznacza liczbę wszystkich dzielników liczby $n,$ zaś $\sigma (n)$ oznacza ich sumę (zob. liczba dzielników i suma dzielników).