Heisenbergs uskarphetsrelasjon

Heisenbergs uskarphetsrelasjon, eller Heisenbergs usikkerhetsprinsipp, i kvantemekanikken sier at både posisjon og bevegelsesmengde til en partikkel ikke kan bestemmes skarpt (presist) ved samtidig måling. Dermed vil en nøyaktigere måling av partikkels posisjon føre til en mer uskarp måling av bevegelsesmengde, og omvendt. Det samme gjelder også andre kvantemekaniske størrelser, slik som tid og energi.

Uskarphetsrelasjonen er gitt av Plancks konstant og er en fundamental egenskap ved kvantemekanikken som ikke kan unngås eller omgås på noen måte. Uskarphetsrelasjonen er inkorporert som en naturlig del av alle ulike formuleringer av kvantemekanikken. F.eks. har kvantemekaniske objekter både partikkel- og bølgeegenskaper (se Bølge-partikkel-dualitet) og uskarphetsrelasjonen sier at det er umulig samtidig å observere et objekt som partikkel og bølge.

Uskarphetsrelasjonen ble oppdaget og formulert av Werner Heisenberg i 1927 og har hatt mye å si for forståelse og tolkning av kvantemekanikken. Tolkningen gitt av Werner Heisenberg og Niels Bohr kalles for Københavntolkningen.

Matematisk formuleres Heisenbergs uskarphetsrelasjon som

$\Delta x~\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}\,$

hvor Δx er uskarphet i posisjon, Δp er uskarphet i bevegelsesmengde og h er Plancks konstant. Tilsvarende gjelder også at

$\Delta t~\Delta E\geq {\frac {h}{4\pi }}\,$

hvor Δt er uskarphet i tid og ΔE er uskarphet i energi.

Uskarphet i kvantemekanikken

Kvantemekanisk uskarphet er det samme som standardavvik dvs. hvor stor spredning en verdi får ved gjentatte målinger. Ordet uskarphet kommer fra tysk og brukes i stedet for usikkerhet for å skille det fra vanlig måleusikkerhet. (I engelsk terminologi brukes likevel usikkerhet som begrep; Heisenberg´s uncertainty principle.) Måleusikkerhet er noe en kan i teorien bli kvitt med bedre utstyr og metoder, mens kvantemekanisk uskarphet er en fundamental egenskap som ikke kan unngås på noen måte.

Matematisk formuleres standardavviket til en variabel x ved

$\Delta x={\sqrt {\langle x^{2}\rangle -\langle x\rangle ^{2}}}\,$

hvor <x> er kvantemekanisk middelverdi for størrelsen x. Denne middelverdien er bestemt ut fra hvilken kvantemekanisk tilstand systemet er i.

En konsekvens av Heisenbergs uskarphetsrelasjon er at forskjellige egenskaper til en partikkel avhenger av hverandre slik at man må behandle hele den kvantemekaniske tilstanden under ett. Dette helt ulikt klassisk fysikk hvor størrelser som posisjon og bevegelsesmengde er uavhengige av hverandre.

Generalisering

Uskarphetsrelasjonen mellom posisjon og bevegelsesmengde er bare ett eksempel på størrelser som ikke kan bestemmes skarpt samtidig. Generelt sett gjelder tilsvarende relasjoner mellom størrelser hvor de kvantemekaniske operatorene ikke kommuterer, dvs. hvor rekkefølgen de kommer i betyr noe. Kommutatoreren til operatorene A og B er gitt ved

$[{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}\neq 0\,$

Generelt sett er det mange kvantemekaniske størrelser som ikke kommuterer, f.eks. ulike komponenter av spinn og kvantisert dreieimpuls.

For generelle operatorer har vi da sammenhengen

$\Delta A~\Delta B\geq {\frac {1}{2}}\left|\left\langle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\right\rangle \right|\,$

Kommutatoren mellom posisjon og bevegelsesmengde er spesiell, siden den er gitt per definisjon ved kvantisering, dvs. formulering av det kvantemekaniske systemet. Vi sier at bevegelsesmengde er konjugert impuls (eller ofte kun impuls) til posisjon. Kommutatoren

$[{\hat {x}},{\hat {p}}]\equiv i\hbar \,$

kalles kanonisk kommutator.

Tolkninger og historikk

Uskarphetsrelasjonen ble først satt fram av Werner Heisenberg i 1927 og har tidvis vært mye debattert siden den er helt sentral for hvordan kvantemekanikken skal forstås. Spesielt Albert Einstein var skeptisk og mente at uskarphetsrelasjonen viste at kvantemekanikken ikke var en komplett teori og at det måtte finnes en underliggende teori, såkalte skjulte variabler. Han satte opp et snedig tankeeksperiment som kunne brukes til å sjekke for skjulte variabler, det såkalte EPR-paradokset. Tilsvarende eksperimenter har i dag blitt utført ved testing av Bells ulikheter og støtter Heisenbergs og Bohrs tolkningen at slike skjulte variabler ikke finnes.

Kilder

• P.C.Hemmer, Kvantemekanikk, 3. utg. 1993