Potensmengd

Potensmengden til ei gitt mengd $X$ består i matematikken av alle delmengder av $X$. Me skriv often potensmengden til ei mengd $X$ som anten $2^{X}$ eller ${\mathcal {P}}(X)$.

Fleire matematiske strukturar på ei mengd $X$ er definert som delmengder av $2^{X}$ som oppfyller visse krav. Sjå til døme topologiske rom og $\sigma$-algebra

Definisjon

La $X$ vera ei mengd. Formelt kan me definere potensmengden $2^{X}$ til $X$ som følgjer:

$2^{X}=\{A|A\subseteq X\}$

Me ser med det same at både $X$ sjølv og den tomme mengda $\emptyset$ er i $2^{X}$.

Eksempel

La $X=\{a,b\}$. Potensmengda til $2^{X}$ består av alle fire delmengda til $X$. Desse er

$\emptyset ,X,\{a\},\{b\}$

Generelt, viss $X$ er ei mengd med $n$ element, så har $2^{X}$ $2^{n}$ element.

Eit interessant tilfelle er $2^{\emptyset }$. Denne mengda består av $\{\emptyset \}$.

Resultat

Georg Cantor har prova at potensmengda til ei kvar mengd $X$ er større enn (har større kardinalitet enn) $X$ sjølv.

Denne matteartikkelen er ei spire. Du kan hjelpe Nynorsk Wikipedia gjennom å utvide han.