「初等関数」の版間の差分

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+'''初等関数'''（しょとうかんすう、{{Lang-en-short|Elementary function}}）とは、以下の一変数関数、及びこれらの関数を有限回合成して得られる[[写像の合成|合成関数]]の総称である<ref name="kato2">{{Harvnb|加藤ほか|2007}}</ref><ref name="takenouchi2">{{Harvnb|竹之内ほか|2005}}</ref>。
-{{移動保護}}
-'''初等関数'''（しょとうかんすう）とは、[[複素数]]を[[変数]]とする[[多項式関数]]・[[指数関数]]・[[対数関数]]主値の[[四則演算]]・[[写像#写像の合成|合成]]によって表示できる[[関数 (数学)|関数]]である。これによると、[[三角関数]]や[[双曲線関数]]、そして両者の[[逆関数]]主値も
-:<math>\sin x = \frac{\exp(ix) - \exp(-ix)}{2i}</math>
-:<math>\sinh x = \frac{\exp(x) - \exp(-x)}{2}</math>
-:<math>\operatorname{arcsin}x = -i\operatorname{Ln}(ix + \sqrt{1 - x^{2}})</math>
-:<math>\begin{align} \operatorname{sinh}^{-1}x &= \operatorname{Areasinh}x \\ &= \operatorname{Ln}(x + \sqrt{1 + x^{2}}) \end{align}</math>
-に代表される表示が可能であるから、初等関数と考えることが出来る。初等関数は[[一価関数]]に限る。
+* [[代数関数]]
-初等関数の[[導関数]]は必ず初等関数になるが、初等関数の[[原始関数]]、及び初等関数を用いた[[微分方程式]]の解は必ずしも初等関数になるとは限らない。例えば、次の二つの不定積分
+* [[指数関数]]・[[対数関数]]
-:<math>\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}</math>
+* [[三角関数]]・[[逆三角関数]]
-は似た形であるにもかかわらず、前者は解けて Arcsin ''x'' + ''C'' となるが、後者は初等関数の範囲では解けない。この積分は、[[特殊関数]]である[[楕円積分]]を用いて F(Arcsin ''x'', −1) + ''C'' と表示される。
+初等関数のうち、代数関数でないものを'''初等超越関数'''という<ref name="kato">{{Harvnb|加藤ほか|2007}}</ref><ref name="takenouchi">{{Harvnb|竹之内ほか|2005}}</ref>。
-初等関数の[[逆関数]]は必ずしも初等関数になるとは限らない。例えば、5次以上の[[多項式]] ''P''(''x'') に対し、方程式 ''P''(''x''<sub>0</sub>) = 0 の解は一般には初等関数を用いて表せないことが[[ニールス・アーベル]]によって証明されている。従って ''P''(''x'') の逆関数 ''P''<sup>−1</sup>(''x'') が初等関数であれば、''x''<sub>0</sub> = ''P''<sup>−1</sup>(0) と表せてしまうから、''P''<sup>−1</sup>(''x'') は初等関数ではない。最近、一部の数学者たちによって、''P''<sup>−1</sup>(''x'') は[[楕円関数]]を用いて表示できることがわかってきている。
+指数関数によって定義される[[双曲線関数]]・[[逆双曲線関数]]は初等関数である<ref name="kato" />。
+初等関数の[[微分]]（[[導関数]]）は初等関数である。
+== 初等関数ではない関数 ==
+[[ガンマ関数]]、[[楕円関数]]、[[ベッセル関数]]、[[誤差関数]]などは初等関数でない<ref name="kato" /><ref name="takenouchi" />。
+=== 初等関数になるとは限らない関数 ===
+初等関数の[[原始関数|不定積分]]や初等関数を用いた[[微分方程式]]の解などは一般に初等関数にはならない<ref name="takenouchi" />。
+初等関数の逆関数は必ずしも初等関数になるとは限らない（例えば[[ランベルトのW関数]]）。
+==初等関数の例==
+*[[定数関数]]、[[冪関数]]、[[多項式関数]]、[[有理関数]]
+*[[指数関数]]、[[対数関数]]、[[三角関数]]、[[逆三角関数]]
+*[[双曲線関数]]、[[逆双曲線関数]]
+== 脚注 ==
+{{脚注ヘルプ}}
+{{Reflist|2}}
+== 参考文献 ==
+* {{Cite book|和書
+|author=加藤周一 ほか|authorlink=加藤周一
+|title=世界大百科事典
+|year=2007
+|publisher=平凡社
+|isbn=978-4-582-03400-4
+|edition=改訂新版
+|ref={{harvid|加藤ほか|2007}}}}
+* {{Cite book|和書
+|author=竹之内脩 ほか|authorlink=竹之内脩
+|title=スーパーニッポニカ プロフェッショナル
+|year=2005
+|publisher=小学館
+|isbn=978-4-09-906745-8
+|edition=DVD-ROM版
+|ref={{harvid|竹之内ほか|2005}}}}
+== 関連項目 ==
+{{Div col}}
+*[[代数関数]]
+*[[超越関数]]
+*[[微分ガロア理論]]
+*[[リッシュのアルゴリズム]]
+{{Div col end}}
+== 外部リンク ==
+*{{Kotobank|初等関数|2=[[竹之内脩]]}}
+*{{MathWorld|urlname=ElementaryFunction|title=Elementary function}}
+{{Mathanalysis-stub}}
+{{Normdaten}}
 {{DEFAULTSORT:しよとうかんすう}}
 [[Category:初等関数|*]]
 [[Category:解析学]]
 [[Category:関数]]
+[[Category:関数の種類]]
 [[Category:数学に関する記事]]
-[[bs:Elementarna funkcija]]
-[[ca:Funcions elementals]]
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-[[de:Elementare Funktion]]
-[[en:Elementary function]]
-[[es:Función elemental]]
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-[[he:פונקציה אלמנטרית]]
-[[it:Funzione elementare]]
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