כדור (גאומטריה)

ספירה – פני השטח של כדור

כדור הוא גוף גאומטרי המורכב מן הנקודות במרחב שמרחקן מנקודה קבועה הוא לכל היותר מספר קבוע מסוים, הקרוי רדיוס. פני השטח של הכדור הן ספירה. כדור הוא הכללה של עיגול למרחב מממד כלשהו. לעיתים קרובות המלה כדור מיוחדת דווקא לכדור במרחב התלת-ממדי.

כדור הכולל את שפתו (הספירה) נקרא כדור סגור. כדור ללא שפתו נקרא כדור פתוח.

לערך העוסק בפנים של הספירה במרחב מטרי כלשהו, ראו כדור (טופולוגיה).

משוואת הכדור

במרחב האוקלידי התלת-ממדי, אלמנט מרחק ds נתון על ידי הנורמה הבאה:

$\!\,ds={\sqrt {(dx)^{2}+(dy)^{2}+(dz)^{2}}}$

ולכן מההגדרה הבאה של הכדור המקום הגאומטרי של כל הנקודות שנמצאות במרחק קטן או שווה ל-$r$ מנקודה מסוימת "המרכז" נובע שהמשוואה המגדירה את הכדור הסגור היא

$\!\,x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq r^{2}$

כאשר x,y,z הם הקואורדינטות במערכת צירים קרטזית של נקודה על פני הכדור ומרכז הכדור הוא ראשית הצירים. למרחק $r$ קוראים הרדיוס ("מחוג") של הכדור.

ניתן להוכיח זאת על ידי ווקטור אלגברי במרחב, בדרך של מציאת האורך שלו והשוואתו לערך קבוע (הרדיוס).

משוואת כדור סגור במערכת צירים קרטזית שמרכזו $\!\,(x_{0},y_{0},z_{0})$ היא

$\!\,(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}\leq r^{2}$

תכונות גאומטריות

• שטח הפנים של כדור בעל רדיוס r הוא $A=\ 4\pi r^{2}$.
• הנפח של כדור בעל רדיוס r הוא $V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}$.

הכדור הוא הצורה שלה שטח פנים מינימלי לכל נפח מוגדר (אי-שוויון איזופרימטרי). לדוגמה, בהעדר כוח משיכה, טיפת מים שבשל מתח הפנים רוצה להגיע למינימום שטח פנים, תשאף להיות בצורת כדור.

הכללה ל-n ממדים

ניתן להכליל את הכדור לממד כללי n (כאשר n מספר שלם חיובי). n-כדור מסומן בדרך כלל כ- Bⁿ והוא מוגדר כאוסף הנקודות במרחב אוקלידי n-ממדי שנמצאות במרחק קטן מ-r מנקודה כלשהי במרחב ( r, הרדיוס, הוא מספר ממשי חיובי כלשהו).

ניתן לתאר את משוואת הכדור על ידי שימור ב-וקטור שיתאר את כל הנקודות על הכדור, כאשר אורכו קבוע, ולהגיע למשוואה $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+...+x_{n}^{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}=r^{2}$.

בפרט:

• 0 ממדים - כדור הוא נקודה.
• 1 ממדים - כדור הוא קטע בישר.
• 2 ממדים - כדור הוא עיגול במישור.
• 3 ממדים - כדור הוא הכדור התלת-ממדי.
• 4 ממדים - כדור הוא אוסף כל הכדורים על פני ממד רביעי $n$, כאשר רדיוסם הוא ${\sqrt {r^{2}-n^{2}}}$ (ניתן לקבל זאת מנוסחת הכדור ב-$n$ ממדים).

שטח הפנים של n-כדור ברדיוס 1 הוא $2{\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2)}}$, כאשר $\ \Gamma (z)$ היא פונקציית גמא.

נוסחה מפורשת לשטח הפנים של n-כדור:

$A={\begin{cases}\displaystyle {\frac {(2\pi )^{n/2}\,r^{n-1}}{2\cdot 4\cdots (n-2)}},&{\text{if }}n{\text{ is even}};\\\\\displaystyle {\frac {2(2\pi )^{(n-1)/2}\,r^{n-1}}{1\cdot 3\cdots (n-2)}},&{\text{if }}n{\text{ is odd}}.\end{cases}}$

נפח הכדור, שטח הפנים כפול ${r \over n}$. בצורה מפורשת, הנפח נתון על ידי:

$V={\begin{cases}\displaystyle {\frac {(2\pi )^{n/2}\,r^{n}}{2\cdot 4\cdots n}},&{\text{if }}n{\text{ is even}};\\\\\displaystyle {\frac {2(2\pi )^{(n-1)/2}\,r^{n}}{1\cdot 3\cdots n}},&{\text{if }}n{\text{ is odd}}.\end{cases}}$

ראו גם

• כדור (טופולוגיה)
• קואורדינטות כדוריות

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא כדור בוויקישיתוף

• המילה 'כדור'(הקישור אינו פעיל), באתר האקדמיה ללשון העברית
• כדור, באתר MathWorld (באנגלית)