The document appears to be a table showing interest rates ranging from 1% to 12% over periods of 2 to 35 years. It lists the annual interest rate in the left column and the accumulated value over time in the subsequent columns. The table allows users to look up the future value of an investment based on the original amount, interest rate, and number of years.
1. Chapitre 3 : Les annuités.
Définition : c’est un terme général qui est applicable quelque soit la périodicité.
A – Evaluation d’une suite d’annuités constantes.
1. Valeur acquise par une suite d’annuités constantes.
Définition : il s’agit de la somme des valeurs acquises par chaque annuité immédiatement
après le dernier versement.
a Montant de l’annuité
i Intérêt pour 1 € pour une période
n Nombre d’annuités
Vn Valeur acquise
0 1 2 3 n −1 n
a a a a a
a(1 + i )
1
…
a(1 + i )
n −3
a(1 + i )
n−2
a(1 + i )
n −1
Σ = Vn
Ici, le premier terme est a, de raison q = (1 + i ) , avec n termes.
Vn = a
(1 + i )n − 1
(1 + i ) − 1
Vn =a
(1 + i )n − 1
i
Application A.1. : 20 000 € sont placés le 1er janvier de chaque année civile du 1er janvier
2005 au 1er janvier 2008 inclus. Au taux d’intérêt de 9 %, déterminer la valeur acquise par ce
placement le 1er janvier 2009.
Vn = 20000
(1,09)4 − 1 (1,09)
0,09
Vn = 99690,21
Application A.2. : Un placement de 10 000 € est réalisé le 1er janvier de chaque année du 1er
janvier 2006 au 1er janvier 2008 inclus. Le 1er janvier 2009, on dispose de 35 529,35 €. A quel
taux ce placement a-t-il été réalisé ?
2. 10000
(1 + i )3 − 1 (1 + i ) = 35529,35
i
(1 + i )4 − (1 + i ) = 3,552
i
(1 + i )4 − 1 − 1 = 3,552
i
(1 + i )4 − 1 = 4,552
i
On a i = 0,09 4,573
On a i = 8,70% 4,552
On a i = 0,085 4,559
Application A.3. : Neuf versements de 5 000 € sont réalisés à 6 mois d’intervalle chacun.
Taux d’intérêt annuel : 10 %. De quelle somme disposera t on au moment du versement de la
dernière semestrialité ?
1
is = (1,1)2 − 1
is = 0,0488
Vn = 5000
(1,0488)9 − 1
0,0488
Vn = 54863,1
Application A.4. : Déterminer au taux de 7 % le nombre d’annuités constantes de 5 000 €
nécessaires à la constitution d’un capital de 55 000 €.
5000(1,07 ) − 1
n
55000 =
0,07
n = 8,439
Première solution :
5000(1,07 ) − 1
8
= 51299,01
0,07
55000 − 51299,01 = 3700,99
On a donc 7 versements de 5000, le 8ème est de 5000 + 3700,99 = 8700,99.
Deuxième solution :
5000(1,07 ) − 1
9
= 59888,94
0,07
59888,94 − 55000 = 4889,94
On a donc 8 versements de 5000, le 9ème est de 5000 – 4889,94 = 110,6.
3. 2. Valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes.
Définition : somme des valeurs actuelles de chacune des annuités, une période avant le 1er
versement.
On a n termes, de raison q = (1 + i ) , premier terme a(1 + i )
−n
:
1 − (1 + i )
−n
V0 = a
i
Application A.5. : Une dette de 100 000 € est contractée le 1er janvier 2006. Elle sera
remboursée par le versement de quatre annuités constantes. Taux d’intérêt : 10 %. Calculer le
montant de l’annuité sous deux hypothèses :
H1 : le premier versement intervient le 1er janvier 2007.
1 − (1,1)
−4
100000 = a
0,1
a = 31547,08
H2 : le premier versement intervient le 1er janvier 2008.
1 − (1,1)
−4
100000(1,1) = a
0,1
a = 34701,79
Application A.6. : Initialement un débiteur s’était engagé à effectuer un remboursement par le
versement de 8 annuités constantes de 10 000 €, la première annuité arrivant à échéance 1 an
après la conclusion du contrat. Au taux de 10 %, déterminer les caractéristiques d’autres
solutions équivalentes :
• Versement de 10 semestrialités constantes (la 1ère 6 mois après la conclusion du
contrat).
• Versement unique de 94 511,47 €.
• Versement unique de 80 000 €.
1
is = (1,1)2 − 1
is = 0,048809
1 − (1,1)
−8
V0 = 10000
0,10
V0 = 53349,26
1 − (1,0488)
−10
53349,26 = s
0,0488
s = 6869,06
4. 53349,26 = 94511,47(1,1)
−n
n=6
Deuxième hypothèse :
53349,26 = 80000(1,1)
−n
n = 4,25
Soit 4 ans et 3 mois après époque 0.
Application A.7. : Quelle est, au taux de 10 %, la valeur actuelle d’une rente perpétuelle de
2000 € par an (premier versement dans un an) ?
1 − (1,1)
−∞
V0 = 2000
0,1
V0 = 20000
Application A.8. : Un emprunt de 100 000 € doit être remboursé par une suite de 20
trimestrialités de 6 081,88 € chacune (la première venant à échéance dans un trimestre). Quel
est le taux d’intérêt annuel ?
1 − (1 + it )
−20
10000 = 6081,88
it
1 − (1 + it )
− 20
16,442284 =
it
On a it = 0,018 16,671
On a it = 0,019432 16,442
On a it = 0,085 16,351
(1 + ia )14 − 1 = 0,019432
1 + ia = 1,08
tx = 8%
5. B – Les annuités en progression arithmétique ou géométrique.
Les annuités en progression arithmétique :
La valeur acquise :
0 1 2 3 n −1 n
a a+r a + 2r a + (n − 2 )r a + (n − 1)r
a + (n − 2 )r (1 + i )
…
(a + 2r )(1 + i )n−3
(a + r )(1 + i )n−2
a(1 + i )
n −1
Σ = Vn
On va voir la formule complète :
Vn = a (1 + i ) + (1 + i ) + (1 + i ) + ... + (1 + i ) + 1 + r (1 + i ) + 2(1 + i ) + ... + (n − 2 )(1 + i ) + (n − 1)
n −1 n−2 n −3 n−2 n −3
Σ de n termes en progression géo de raison (1+ i ) de 1er terme 1 : S
1 + i
n
−1 (1 + i ) − 1
n
Σ =1 S =1 − n
i i
i
n
1 + i −1
a
i
Reprenons l’expression intégrale de Vn :
n
1 + i
− 1 r (1 + i )n − 1
Vn = a
+ − n
i i i
1 + i n − 1
r nr
Vn =
a + −
i i i
La valeur actuelle : V0
−n
V0 = Vn 1 + i
6. 1 + i n − 1 r nr −n
V0 =
a + − 1 + i
i i i
−n
1 − 1 + i r nr −n
V0 = a + − 1 + i
i i i
−n
1 − 1 + i r nr −n nr nr
V0 = a + − 1 + i + −
i i i i i
−n −n
1 − 1 + i r 1 − 1 + i
nr
V0 = a + + nr −
i i i i
−n
1 − 1 + i r nr
V0 = a + + nr −
i i i
Les annuités en progression géométrique :
La valeur acquise :
0 1 2 3 n −1 n
a aq aq 2 aq n − 2 aq n −1
aq n − 2 (1 + i )
…
aq (1 + i )
2 n −3
aq(1 + i )
n−2
a(1 + i )
n −1
Σ = Vn
La valeur acquise correspond ici à la somme de n termes en progression géométrique de
q
premier terme a(1 + i ) et de raison
n −1
.
1+ i
n n
1 + i
1 + i q n − 1 + i
Vn = a
1 + i q − 1 + i
1 + i
n
n
q n − 1 + i
Vn = a
q − 1 + i
La valeur actuelle :
−n
V0 = Vn 1 + i
7. n
q n − 1 + i −n
V0 = a
1 + i
q − 1+ i
−n
q n 1 + i −1
V0 = a
q − 1 + i
Cas particulier où : q = 1 + i
Les formules qui viennent d’être obtenues ne peuvent être utilisées car elles conduisent à des
valeurs de V0 et Vn indéterminées.
Il faut donc revenir au début des démonstrations et remplacer q par (1 + i ) .
Cela donne :
Valeur acquise :
n −1 n −1 n −1
Vn = a 1 + i + a 1 + i + ... + a 1 + i
n −1
Vn = na 1 + i
Valeur actuelle :
na
V0 =
1+ i
Application B.9. : Un particulier souhaite se constituer un capital en versant quatre annuités.
La première sera de 10 000 €, les suivantes seront majorées à chaque fois de 1 000 €. Taux du
placement : 8 %. Quelle sera la valeur acquise par ce placement immédiatement après le
dernier versement ?
1 + 0,08 4 − 1
1000 4.1000
Vn =
10000 + −
0,08 0,08 0,08
Vn = 51387,52
Application B.10. : Calculer la valeur acquise et la valeur actuelle d’une suite de 7 annuités de
10 000 € en progression géométrique de 1,1. Le taux d’intérêt est de 8 %.
Refaire les calculs avec un taux d’intérêt de 10 %.
Taux d’intérêt de 8 % :
−7
1,17 1 + 0,08 −1
V0 = 10000
1,1 − 1 + 0,08
V0 = 68528,86
8. 7
1,17 − 1 + 0,08
Vn = 10000
1,1 − 1 + 0,08
Vn = 117446,42
−7
V0 = 117446,411 + 0,08
V0 = 68528,86
Taux d’intérêt de 10 % :
Vn = 7.10000(1,1) = 124009,27
6
V0 = 7.10000(1,1) = 63636,36
−1
V0 = 124009,27(1,1) = 63636,36
−7
Application 1 : Déterminer l’échéance moyenne d’une suite de 20 annuités constantes de
1 000 €. Le taux d’intérêt est de 10 %.
Effectuer le même calcul pour un taux de 8 % et de 14 %. Conclure.
Au taux 10 % :
1 − (1,1)
−20
= 20000(1,1)
−n
1000
0,10
(1,1)−n = 0,425678
n = 8,960
Soit 8 ans et 346 jours après la période 0.
Au taux 8 % :
1 − (1,08)
−20
= 20000(1,08)
−n
1000
0,08
n = 9,244
Soit 9 ans et 89 jours après la période 0.
Au taux 14 % :
1 − (1,14)
−20
= 20000(1,14)
−n
1000
0,14
n = 8,434
Soit 8 ans et 157 jours après la période 0.
Application 2 : Une suite de treize annuités constantes capitalisées au taux de 10 % a une
valeur acquise de 122 613,56 €.
Calculer le montant de l’annuité.
9. Vn =a
(1 + i )n − 1
i
122613,56 = a
(1 + 0,1)13 − 1
0,1
a = 5000
Application 3 : Une suite de 8 annuités de 5 000 € a une valeur acquise de 60 940,15 €.
Retrouver le taux de capitalisation.
60940,15 = 5000
(1 + i )8 − 1
i
(1 + i ) 8
−1
= 12,188
i
On a i = 0,10 11,435
On a i = 11,75% 12,188
On a i = 0,12 12,299
i − 0,11 12,188 − 11,435
=
0,12 − 0,11 12,299 − 11,435
i = 11,75%
Application 4 : Un certain nombre d’annuités de 25 000 €, chacune capitalisée au taux de
7,5% ont produit une valeur acquise de 219 683,05 €.
Calculer le nombre d’annuités.
Refaire le calcul en considérant une valeur acquise de 200 000 €.
Vn =a
(1 + i )n − 1
i
219 683,05 = 25000
(1,075)n − 1
0,075
n=7
Vn =a
(1 + i )n − 1
i
200000 = 25000
(1,075)n − 1
0,075
n ≈ 6,498
n=6
Vn = 25000
(1,075)6 − 1
0,075
Vn = 181100,51 +18899→ 200000
49 ,
10. Soit 5 annuités de 25 000 €.
6 ème
= (25000 + 18899,49 ) = 43899,49
n=7
Vn = 25000
(1,075)7 − 1
0,075
Vn = 219683,05 −19683→ 200000
05 ,
6 annuités de 25 000 €.
7 ème
= (25000 − 19683,05) = 5316,95
Application 5 : Calculer la valeur acquise et la valeur actuelle d’une suite de 15 annuités en
progression arithmétique de raison 600 €.
La première annuité est de 6 000 €. Le taux d’intérêt est de 8 %.
n
1 + i − 1
r nr
Vn =
a + −
i i i
15
1 08
,
−1 600 15.600
Vn =
6000 + −
0,08 0,08 0,08
Vn = 254053,54
V0 = 254053,541,08 − 15
V0 = 88088,27
Application 6 : Extrait d’une publicité d’un constructeur automobile :
« Pour l’acquisition d’un véhicule neuf, la société ZX vous offre tous les modèles de sa
gamme pour 0 € pendant 18 mois.
Exemple : pour 1 000 € TTC hors assurance, à la livraison, apport initial de 400 €, suivi de
18 mensualités de 0 €, puis 41 mensualités de 23,6 € et un mois après la dernière mensualité,
50 €. »
Quel est le taux mensuel de ce crédit ?
1 − (1 + in )
−41
1000 = 400 + 23,6 (1 + in )−18 + 50(1 + in )−60
in
600 = 23,6
(1 + in )−18 − (1 + in )−59 + 50(1 + i )−60
n
in
On a i = 0,0125 626,248
On a i = ? 600
On a i = 0,014 591,976
in = 1,364%
11. Application 7 : Afin de préparer sa retraite un particulier a effectué des versements sur un
compte d’épargne selon les modalités suivantes :
• A compter du 1er juillet 1990, durant 3 ans, il a placé 1 00 € au début de chaque
trimestre ;
• A compter du 1er juillet 1993, durant 3 ans également, il a placé 150 € au début de
chaque trimestre.
Le même phénomène de progression s’est reproduit tous les trois ans : le 1er juillet 1996, il a
commencé une série de placements de 200 €…
Le dernier versement est intervenu le 1er avril 2011 (il était de 400 €).
Quelle sera, au taux de 6,5 %, la valeur acquise par l’ensemble de ces placements au 31
décembre 2012 ?
1
Taux trimestriel équivalent :
(1,065)4 − 1 = 0,015868
(1,065)3 − 1 = 0,207949
7 termes.
1,01586812 − 1
A1 = 100 × = 1310,473
0,015868
1,01586812 − 1
r = 50 × = 655,236
0,015868
Progression arithmétique.
1 + i n − 1
r nr
Vn =
a + −
i i i
7
1 207
,
−1 655,23 7 × 655,23
Vn =
1310,47 + −
0,207 0,207 0,207
= 37000,27
Vn (31 / 12 / 2012) = 37000,27(1,015868)
7
= 41311,10