Nombre octogonal

Le nombre octogonal $O_{6}=96$ dans son carré entouré de rouge, avec les nombres octogonaux qui le précèdent.

En mathématiques, un nombre octogonal est un nombre figuré polygonal qui peut être représenté graphiquement par des points répartis dans un octogone. Le nombre octogonal d'ordre $n$ est donné par la formule  :

$P_{8,n}=O_{n}=n(3n-2)$.

Les treize premiers nombres octogonaux sont 1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, 176, 225, 280, 341, 408 et 481 (suite A000567 de l'OEIS).

Obtention de ces nombres

Pour avoir $n$ points sur chaque côté de l'octogone extérieur, on ajoute à l'étape $n$ : $8-1$ points aux sommets et $(8-2)(n-2)$ points à l'intérieur des côtés, d'où $O_{n}-O_{n-1}=7+6(n-2)=6(n-1)+1$.

Donc $O_{n}=\sum _{k=1}^{n}(6(k-1)+1)=\sum _{k=0}^{n-1}(6k+1)=3n(n-1)+n=n(3n-2)$.

Nombre octogonal $O_{5}=C_{5}+4T_{4}=25+4\times 10=65$

Autre construction

De la formule générale $P_{k,n}=P_{k-1,n}+T_{n-1}$, découle par exemple que $O_{n}$ s'obtient en ajoutant le nombre carré $C_{n}$ au quadruple du $(n-1)$-ème nombre triangulaire : $O_{n}=C_{n}+4T_{n-1}=n^{2}+2n(n-1)$ .

Propriétés

• $O_{n}=n+6T_{n-1}=n+3n(n-1)$ est congru à $n$ modulo 6 et a donc même parité que lui.

• D'après le théorème des nombres polygonaux de Fermat, tout entier naturel est la somme d'au plus 8 nombres octogonaux.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Octagonal number » (voir la liste des auteurs).

Articles connexes

• Nombre polygonal
• Nombre octogonal centré
• Nombre octaédrique