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En [[matemáticas]], una '''estructura de incidencia''' es un sistema abstracto que consta de dos tipos de objetos y una única relación entre estos tipos de objetos. Considérense los [[Punto (geometría)|puntos]] y las [[recta]]s de un [[Plano (geometría)|plano]] como los dos tipos de objetos, e ignórense todas las propiedades de esta geometría, excepto el criterio de [[Relación binaria|relación]], es decir, establecer qué puntos están en qué rectas para todos los puntos y rectas definidos. Lo que queda es la estructura de incidencia del plano euclídeo.
Las estructuras de incidencia se consideran con mayor frecuencia en el contexto geométrico donde se abstraen de los planos y, por lo tanto, se generalizan (como [[Plano afín|affine]], [[Plano proyectivo|projective]] y [[ Möbius plane]]), pero el concepto es muy amplio y no se limita a configuraciones geométricas. Incluso en un entorno geométrico, las estructuras de incidencia no se limitan solo a puntos y líneasrectas; Se pueden utilizar objetos de dimensiones superiores ([[Bidimensional|plane]], [[Geometría del espacio|solid]], espacios {{mvar|n}}, [[ Conical surface|conics]], etc.). El estudio de estructuras finitas a veces se denomina [[geometría finita]].<ref>{{harvnb|Colbourn|Dinitz|2007|page=702}}</ref>
==Definición formal y terminología==
Una '''estructura de incidencia''' es una tripleta ({{math|''P'', ''L'', ''I''}}) donde {{mvar|P}} es un conjunto cuyos elementos se llaman ''puntos'', {{mvar|L}} es un conjunto distinto cuyos elementos se llaman ''líneasrectas'' y {{math|''I'' ⊆ ''P'' × ''L''}} es el [[Incidencia (geometría)|incidence]] [[Relación binaria|relation]] . Los elementos de {{mvar|I}} se llaman '''banderas'''. Si ({{math|''p'', ''l''}}) está en {{mvar|I}}, entonces se puede decir que el punto {{mvar|p}} "se encuentra en" la línearecta {{mvar|l}} o que la línearecta {{mvar|l}} "pasa por" el punto {{mvar|p}}. Una terminología más "simétrica", para reflejar la naturaleza [[Simetría en matemáticas|symmetric]] de esta relación, es que "{{mvar|p}} es ''incidente'' con {{mvar|l}}" o que "{{mvar|l}} es incidente con {{mvar|p}}" y utiliza la notación {{math|''p'' I ''l''}} como sinónimo de {{math|(''p'', ''l'') ∈ ''I''}}.<ref name=Demb1>{{harvnb|Dembowski|1968|pages=1–2}}</ref>
En algunas situaciones comunes, {{mvar|L}} puede ser un conjunto de subconjuntos de {{mvar|P}}, en cuyo caso la incidencia {{mvar|I}} será la contención ({{math|''p'' I ''l''}} si y solo si {{mvar|p}} es miembro de {{mvar|l}}). Las estructuras de incidencia de este tipo se denominan "teóricas de conjuntos".<ref>{{harvnb|Biliotti|Jha|Johnson|2001|page=508}}</ref> Este no es siempre el caso, por ejemplo, si {{mvar|P}} es un conjunto de vectores y {{mvar|L}} un conjunto de [[Matriz cuadrada|square matrices]], podemos definir
<math display=block>I= \{(v, M) : \vec v \text{is an eigenvector of matrix } M \}.</math> también muestra que si bien se utiliza el lenguaje geométrico de puntos y líneasrectas, los tipos de objetos no necesitan ser estos objetos geométricos.
==Ejemplos==
File:Pappusconfig.svg|alt5=Configuration of Pappus theorem|5. [[ Pappus configuration]] }}
Una estructura de incidencia es "uniforme" si cada línearecta incide con el mismo número de puntos. Cada uno de estos ejemplos, excepto el segundo, es uniforme con tres puntos por línearecta.
===Gráficos===
Cualquier [[Grafo|graph]] (que no tiene por qué ser [[Grafo|simple]]; se permiten [[Bucle (teoría de grafos)|loops]] y [[aristas múltiples]]) es una estructura de incidencia uniforme con dos puntos por línearecta. Para estos ejemplos, los vértices del gráfico forman el conjunto de puntos, los bordes del gráfico forman el conjunto de líneasrectas e incidencia significa que un vértice es un punto final de un borde.
===Espacios lineales===
Las estructuras de incidencia rara vez se estudian en toda su generalidad; es típico estudiar estructuras de incidencia que satisfacen algunos axiomas adicionales. Por ejemplo, un ''[[ partial linear space]]'' es una estructura de incidencia que satisface:
# Dos puntos distintos cualesquiera inciden con como máximo una línearecta común, y
# Cada línearecta incide con al menos dos puntos.
Si el primer axioma anterior se reemplaza por el más fuerte:
#<li value="3"> Any two distinct points are incident with exactly one common line,</li>
===Redes===
Un ejemplo más especializado es {{mvar|k}}'''-net'''. Esta es una estructura de incidencia en la que las líneasrectas caen en {{mvar|k}} '''clases paralelas''', de modo que dos líneasrectas en la misma clase paralela no tienen puntos comunes, pero dos líneasrectas en diferentes clases tienen exactamente un punto común, y cada punto pertenece exactamente a una línearecta de cada clase paralela. Un ejemplo de una red {{mvar|k}} es el conjunto de puntos de una [[ affine plane]] junto con clases paralelas de líneasrectas afines {{mvar|k}}.
==Estructura dual==
Si intercambiamos el papel de "puntos" y "líneasrectas" en
:<math>C= (P, L, I)</math> ''estructura dual'',
:<math>C^*= (L, P, I^*)</math>'I''<sup>∗</sup> es la [[relación inversa]] de {{mvar|I}}. De la definición se desprende inmediatamente que:
[[File:Fano plane with nimber labels.svg|thumb|right|Seven points are elements of seven lines in the [[Plano de Fano]]]]
Cada [[hipergrafo]] o [[ set system]] se puede considerar como una incidencia.
estructura en la que el [[conjunto universal]] desempeña el papel de "puntos", el [[ family of sets]] correspondiente desempeña el papel de "líneasrectas" y la relación de incidencia es [[Elemento de un conjunto|set membership]] "{{math|∈}}". Por el contrario, cada estructura de incidencia se puede ver como un hipergráfico identificando las líneasrectas con los conjuntos de puntos que inciden en ellas.
===Diseños de bloques===
{{AP| Block design}}
Un diseño de bloque (general) es un conjunto {{mvar|X}} junto con un [[ Family of sets|family {{mvar|F}} of subsets]] de {{mvar|X}} (se permiten subconjuntos repetidos). Normalmente se requiere un diseño de bloques para satisfacer condiciones de regularidad numérica. Como estructura de incidencia, {{mvar|X}} es el conjunto de puntos y {{mvar|F}} es el conjunto de líneasrectas, generalmente llamados ''bloques'' en este contexto (los bloques repetidos deben tener nombres distintos, por lo que {{mvar|F}} es en realidad un conjunto y no un conjunto múltiple). Si todos los subconjuntos en {{mvar|F}} tienen el mismo tamaño, el diseño del bloque se llama "uniforme". Si cada elemento de {{mvar|X}} aparece en el mismo número de subconjuntos, se dice que el diseño del bloque es "regular". El dual de un diseño uniforme es un diseño regular y viceversa.
====Ejemplo: plano de Fano====
Esta estructura se denomina [[plano de Fano]]. Como diseño de bloques, es uniforme y regular.
En el etiquetado dado, las líneasrectas son precisamente los subconjuntos de los puntos que constan de tres puntos cuyas etiquetas suman cero usando [[nimber]]. Alternativamente, cada número, cuando se escribe en [[Sistema binario|binary]], se puede identificar con un vector distinto de cero de longitud tres sobre [[ GF(2)|binary field]]. Tres vectores que generan un [[Subespacio vectorial|subspace]] forman una línearecta; en este caso, eso equivale a que su suma vectorial sea el vector cero.
==Representaciones==
{{AP|Matriz de incidencia}}
La '''matriz de incidencia''' de una estructura de incidencia (finita) es una [[matriz booleana]] que tiene sus filas indexadas por los puntos {{mvar|{p<sub>i</sub>} }} y las columnas indexadas por las líneasrectas {{math|{''l<sub>j</sub>''} }} donde la entrada {{mvar|ij}}-ésima es 1 si es {{math|''p<sub>i</sub>'' I ''l<sub>j</sub>''}} y 0 en caso contrario. {{efn|The other convention of indexing the rows by lines and the columns by points is also widely used.}} Una matriz de incidencia no está determinada de forma única ya que depende del orden arbitrario de los puntos y las líneasrectas.<ref name=Beth17>{{harvnb|Beth|Jungnickel|Lenz|1986|page=17}}</ref>
La estructura de incidencia no uniforme que se muestra arriba (ejemplo número 2) viene dada por:
Si una estructura de incidencia {{mvar|C}} tiene una matriz de incidencia {{mvar|M}}, entonces la estructura dual {{math|''C''<sup>∗</sup>}} tiene la [[matriz transpuesta]] {{mvar|M}}<sup>T</sup> como su matriz de incidencia (y está definida por esa matriz).
Una estructura de incidencia es autodual si existe un ordenamiento de los puntos y líneasrectas de modo que la matriz de incidencia construida con ese ordenamiento sea una [[matriz simétrica]].
Con las etiquetas como se muestra en el ejemplo número 1 anterior y con los puntos ordenados {{math|''A'', ''B'', ''C'', ''D'', ''G'', ''F'', ''E''}} y las líneasrectas ordenadas {{math|''l'', ''p'', ''n'', ''s'', ''r'', ''m'', ''q''}}, el plano de Fano tiene la matriz de incidencia:
:<math> \begin{pmatrix}
===Representaciones pictóricas del===
Una figura de incidencia (es decir, una representación de una estructura de incidencia) se construye representando los puntos mediante puntos en un plano y teniendo algún medio visual para unir los puntos para que correspondan a líneasrectas.<ref name=Beth17 /> Los puntos se pueden colocar de cualquier manera, no hay restricciones en cuanto a distancias entre puntos ni relaciones entre puntos. En una estructura de incidencia no existe el concepto de que un punto esté entre otros dos puntos; el orden de los puntos en una recta no está definido. Compárese esto con [[geometría ordenada]], que sí tiene una noción de intermediación. Se pueden hacer las mismas afirmaciones sobre las representaciones de las líneasrectas. En particular, no es necesario representar las líneasrectas mediante "segmentos de línearecta recta" (véanse los ejemplos 1, 3 y 4 anteriores). Al igual que con la representación pictórica de [[Grafo|graphs]], el cruce de dos "líneasrectas" en cualquier lugar que no sea un punto no tiene significado en términos de la estructura de incidencia; es solo un accidente de la representación. Estas cifras de incidencia pueden a veces parecerse a gráficos, pero no son gráficos a menos que la estructura de incidencia sea un gráfico.
====Realizabilidad====
Las estructuras de incidencia se pueden modelar mediante puntos y curvas en [[Plano (geometría)]] con el significado geométrico habitual de incidencia. Algunas estructuras de incidencia admiten representación por puntos y líneasrectas (rectas). Las estructuras que pueden serlo se denominan "realizables". Si no se menciona ningún espacio ambiental, se supone el plano euclidiano. El plano de Fano (ejemplo 1 anterior) no es realizable ya que necesita al menos una curva. La configuración de Möbius-Kantor (ejemplo 4 anterior) no es realizable en el plano euclidiano, pero sí en el [[plano complejo]].<ref>{{harvnb|Pisanski|Servatius|2013|page=222}}</ref> Por otra parte, los ejemplos 2 y 5 anteriores son realizables y las cifras de incidencia allí dadas lo demuestran. Steinitz (1894)<ref>E. Steinitz (1894), ''Über die Construction der Configurationen'' {{math|''n''<sub>3</sub>}}, Dissertation, Breslau</ref> ha demostrado que {{nowrap|{{math|''n''<sub>3</sub>}}-configurations}} (estructuras de incidencia con puntos {{mvar|n}} y líneasrectas {{mvar|n}}, tres puntos por línearecta y tres líneasrectas que pasan por cada punto) son realizables o requieren el uso de una sola línearecta curva en sus representaciones.<ref>{{citation|first=Harald|last=Gropp|title=Configurations and their realizations|journal=Discrete Mathematics|year=1997|volume=174|pages=137–151|doi=10.1016/s0012-365x(96)00327-5}}</ref> El plano de Fano es el único ({{math|7<sub>3</sub>}}) y la configuración de Möbius-Kantor es la única ({{math|8<sub>3</sub>}}).
===Gráfico de incidencia (gráfico de Levi)===
[[Image:Fano plane-Levi graph.svg|thumb|[[Grafo de Heawood]] with labeling]]
Cada estructura de incidencia {{mvar|C}} corresponde a un [[grafo bipartito]] llamado [[ Levi graph]] o gráfico de incidencia de la estructura. Como cualquier gráfico bipartito tiene dos colores, al gráfico de Levi se le puede dar un [[Coloración de grafos|vertex coloring]] en blanco y negro, donde los vértices negros corresponden a puntos y los vértices blancos corresponden a líneasrectas de {{mvar|C}}. Los bordes de este gráfico corresponden a las banderas (pares de puntos/líneasrectas de incidente) de la estructura de incidencia. El gráfico de Levi original era el gráfico de incidencia del [[ generalized quadrangle]] de orden dos (ejemplo 3 anterior),<ref>{{citation|last= Levi|first= F. W.|author-link= Friedrich Wilhelm Levi|location= Calcutta|mr= 0006834|publisher= University of Calcutta|title= Finite Geometrical Systems|year= 1942}}</ref>, pero [[Harold Scott MacDonald Coxeter]]<ref>{{citation|first=H.S.M.|last=Coxeter|author-link=H.S.M. Coxeter|title=Self-dual configurations and regular graphs|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|volume=56|year=1950|pages=413–455|doi=10.1090/s0002-9904-1950-09407-5}}</ref> ha ampliado el término para referirse a un gráfico de incidencia.
de cualquier estructura de incidencia.<ref name=Pisanski158>{{harvnb|Pisanski|Servatius|2013|page=158}}</ref>
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