„Apollonisches Problem“ – Versionsunterschied

Ein reiches Repertoire von geometrischen und algebraischen Methoden wurde entwickelt, um das apollonische Problem zu lösen, das als "das„das berühmteste aller geometrischen Probleme"Probleme“ bezeichnet wurde. Die originale Vorgehensweise von [[Apollonios von Perge|Apollonios]] ist verlorengegangen, aber von [[François Viète]] und anderen wurden Rekonstruktionen entwickelt, die auf Hinweisen in der Beschreibung durch [[Pappos]] basieren.<ref name="Bruen 1983">A. Bruen, J.C. Fisher, J.B. Wilker: ''Apollonius by Inversion''. In: ''Mathematics Magazine''. 56, 1983, S. 97–103</ref> Die erste neue Lösungsmethode wurde 1596 von [[Adriaan van Roomen]] veröffentlicht, der die Mittelpunkte der Lösungskreise als die Schnittpunkte zweier [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbeln]] fand. Van Roomens Methode wurde 1687 durch [[Isaac Newton]] in seinen ''[[Philosophiae Naturalis Principia Mathematica|Principia]]'' und durch [[John Casey]] im Jahre 1881 verfeinert.

Trotz der erfolgreichen Lösung des Apollonius-Problems hat van Roomens Methode einen Nachteil. Eine geschätzte Eigenschaft in der klassischen [[Euklidische Geometrie|euklidischen Geometrie]] ist die Möglichkeit, Probleme ausschließlich mit [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal|Zirkel und Lineal]] zu lösen. Viele Konstruktionen sind bei Beschränkung auf diese Hilfsmittel unmöglich, beispielsweise die [[Dreiteilung des Winkels|Winkeldreiteilung]]. Viele dieser "unmöglichen"„unmöglichen“ Probleme lassen sich jedoch durch Schnitt von Kurven wie Hyperbeln, [[Ellipse]]n und [[Parabel (Mathematik)|Parabeln]] ([[Kegelschnitte]]) lösen. So kann die [[Würfelverdoppelung]] (das Problem, einen Würfel mit dem doppelten Volumen eines gegebenen Würfels zu konstruieren) nicht mit Zirkel und Lineal gelöst werden, aber [[Menaichmos (Mathematiker)|Menaichmus]] zeigte, dass durch Schnitt zweier Parabeln die Lösung gefunden werden kann. Daher ließ sich aufgrund der Lösung durch van Roomen – die auf dem Schnitt zweier Hyperbeln beruhte – nicht entscheiden, ob eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal möglich ist.

Van Roomens Freund [[François Viète]], der ursprünglich van Roomen dazu gebracht hatte, sich mit dem apollonischen Problem zu befassen, entwickelte eine Methode, die nur Zirkel und Lineal verwendete. Vor Erscheinen der Lösung von Viète zweifelte [[Regiomontanus]] an der Möglichkeit einer Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Viète löste zuerst einige einfache Spezialfälle des Apollonios-Problems, etwa die Bestimmung eines Kreises durch drei gegebene Punkte, das nur eine Lösung hat, wenn die Punkte verschieden sind. Darauf aufbauend, löste er kompliziertere Spezialfälle, in einigen Fällen durch Verkleinern oder Vergrößern der gegebenen Kreise.<ref name="Dörrie 1965">H. Dörrie: ''The Tangency Problem of Apollonius''. In: ''100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions''. 1965, S. 154–160.</ref> Gemäß dem Bericht von [[Pappos von Alexandria]] im 4. Jahrhundert folgte das originale Werk von Apollonios zu diesem Problem — mit dem Titel {{lang|el| Ἐπαφαί}} (''{{lang|el-Latn|Epaphaí}}'', "Berührungen"; Lateinisch: ''De tactionibus'', ''De contactibus'') — einem ähnlichen fortschreitenden Zugang. Daher wird Viètes Lösung als plausible Rekonstruktion der Lösung von Apollonios betrachtet, auch wenn weitere Rekonstruktionen unabhängig von drei verschiedenen Autoren publiziert wurden.

Algebraische Lösungen des apollonischen Problems wurden im 17. Jahrhundert von [[René Descartes]] und [[Elisabeth von der Pfalz (1618–1680)|Prinzessin Elisabeth von Böhmen]] gefunden, die allerdings ziemlich kompliziert sind. Praktisch verwendbare algebraische Methoden wurden im späten 18. und im 19. Jahrhundert durch verschiedene Mathematiker entwickelt, darunter [[Leonhard Euler]], [[Nikolaus Fuss]], [[Carl Friedrich Gauß]], [[Lazare Carnot]], und [[Augustin Louis Cauchy]].