Tschebyschow-Polynom

Tschebyschow-Polynome (nach Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow, oft auch als Tschebyscheff, Tschebycheff, Tschebyschew, Tschebyschev oder Chebychev in der Literatur zu finden) sind Polynome $T_{n}(x)$, die sich als Lösung der Tschebyschow-Differentialgleichung

$(1-x^{2})\,y''-x\,y'+n^{2}\,y=0$

ergeben. Die Funktionen

$y_{g}(x)=1+\sum _{p=1}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{p-1}((2k)^{2}-n^{2})}{(2p)!}}x^{2p}=1+\sum _{p=1}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {\prod _{k=0}^{p-1}(n^{2}-(2k)^{2})}{(2p)!}}x^{2p}=1-{n^{2} \over 2!}\,x^{2}+{n^{2}\,(n^{2}-4) \over 4!}\,x^{4}-{n^{2}\,(n^{2}-4)\,(n^{2}-16) \over 6!}\,x^{6}\pm \cdots$

und

$y_{u}(x)=x+\sum _{p=1}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{p-1}((2k+1)^{2}-n^{2})}{(2p+1)!}}x^{2p+1}=x+\sum _{p=1}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {\prod _{k=0}^{p-1}(n^{2}-(2k+1)^{2})}{(2p+1)!}}x^{2p+1}=x-{n^{2}-1 \over 3!}\,x^{3}+{(n^{2}-1)\,(n^{2}-9) \over 5!}\,x^{5}\mp \cdots$

bilden ein Fundamentalsystem für die Tschebyschow-Differentialgleichung. Für ganzzahlige $n$ brechen diese Reihen nach endlich vielen Gliedern ab. $y_{g}(x)$ bricht für gerade und $y_{u}(x)$ für ungerade $n$ ab, und man erhält Polynome als Lösung. Mit der Normierung $T_{n}(1)=1$ werden diese als Tschebyschow-Polynome $T_{n}(x)$ bezeichnet. Die ersten sieben Polynome dieser Art sind:

${\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{2}(x)&=2x^{2}-1\\T_{3}(x)&=4x^{3}-3x\\T_{4}(x)&=8x^{4}-8x^{2}+1\\T_{5}(x)&=16x^{5}-20x^{3}+5x\\T_{6}(x)&=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\end{aligned}}$

Sie können in allgemeiner Weise aus dem rekursiven Zusammenhang

$T_{n+1}(x)=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x)$

berechnet werden. Mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen sind die Tschebyschow-Polynome darstellbar als

$T_{n}(x)=\cos \left(n\,\arccos x\right)\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad x\in [-1,1]$

oder

$T_{n}(\cos \theta )=\,\!\cos(n\theta )$

Die $n$ Nullstellen des Tschebyschow-Polynoms $T_{n}(x)$ sind gegeben durch

$\cos \left({\tfrac {2j+1}{2n}}\,\pi \right)\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad j=0,\ldots ,n-1$

Anwendungen

In der Filtertechnik werden die Tschebyschow-Polynome bei den Tschebyschow-Filtern verwendet. Bei der Polynominterpolation zeichnen sich diese Polynome durch einen sehr günstigen, gleichmäßigen Fehlerverlauf aus. Dazu sind als Interpolationsstellen die geeignet verschobenen Nullstellen des Tschebyschow-Polynoms passenden Grades zu verwenden. Wegen ihrer Minimalität bilden sie auch die Grundlage für die Tschebyschow-Iteration und für Fehlerschranken bei Krylow-Unterraum-Verfahren für Lineare Gleichungssysteme.