Лінійчата поверхня

Лінійчатий гелікоїд

Лінійчатий гіперболоїд

В диференціальній геометрії, Лінійчата поверхня — поверхня, утворена рухом прямої лінії. Прямі, що належать цій поверхні, називаються прямолінійними твірними, а кожна крива, що перетинає всі прямолінійні твірні називається направляючою кривою. Якщо $p(u)$ — радіус-вектор направляючої, a $m=m(v)$ — одиничний вектор твірної, що проходить через $p(u)$ , то радіус-вектор лінійчатої поверхні є

$r=p(u)+vm(u),$

де $v$ — координата точки на твірній.

Властивості

• Лінійчата поверхня характеризується тим, що її асимптотична мережа — напівгеодезична.
• Теорема Бельтрамі. Лінійчату поверхню завжди можна і до того ж єдиним чином зігнути так, що довільна лінія на ній стане асимптотичною.
• Теорема Бонні. Якщо лінійчата поверхня $F$, що не розгортається, згинається в лінійчату поверхню $F'$, то або їх твірні відповідають одина одній, або обидві вони вигинаються в квадрику, на якій мережа, що відповідає сімействам твірних — асимптотична.
• Єдина мінімальна лінійчата поверхня — гелікоїд.
• Лінійчата поверхня обертання — односмуговий гіперболоїд, який може вироджуватись в циліндр, конус або площину.
• Якщо всs прямолінійні твірні лінійчатої поверхні паралельні одній площині, то вона є поверхнею Каталана.