Геометрія чисел

Геометрія чисел - розділ теорії чисел, створений Мінковським в 1894 році. У загальних рисах цю теорію можна охарактеризувати як застосування в теорії чисел геометричних понять і методів. Сам Мінковський досліджував взаємини між опуклими множинами і цілочисельними решітками в багатовимірному просторі. Якщо рівняння або нерівності має рішення в цілих числах, то це означає, що геометричне тіло, яке визначається цим рівнянням або нерівністю, містить одну або більше точок цілочисельної решітки. У ході досліджень було доведено фундаментальна теорема Мінковського, з якої автор отримав ряд важливих наслідків в теорії лінійних і квадратичних форм, а також в теорії діофантових наближень. Згодом істотний внесок у геометрію чисел внесли Вороний, Морделла, Девенпорт, Зігель та інші.

Результати Маньківського

Припустимо, що Γ є решіткою в n-вимірному евклідовому просторі Rⁿ і K є опуклим центрально-симетричним тілом. Теореми Мінковського, яку іноді називають першою теоремою Мінковського, стверджує, що якщо $vol(K)>2^{n}vol(R^{n}/\Gamma )$ то K містить ненульовий вектор у Γ.

Пізніші дослідження в геометрії чисел

У 1930-1960 дослідження з геометрії чисел проводилося багатьма теоретиками (в тому числі Луісом Морделла, Гарольдом Девенпортом і Карлом Людвігом Зігелем). В останні роки Ленстра, Бріон, Барвінок розробили комбінаторні теорії, які перераховують решітки точок в деяких опуклих тілах.

Підмножинна теорема В. М. Шмідта

В геометрії чисел, теорему про підмножини було отримано Вольфгангом Шмідтом в 1972 році. У ній говориться, що якщо L₁,...,L_n лінійно незалежні лінійні форми від n змінних з алгебраїчними коефіцієнтами і якщо ε> 0 будь-яке дійсне число, то ненульові цілі точки x з

$|L_{1}(x)\cdots L_{n}(x)|<|x|^{-\epsilon }$

лежать в кінцевому числі власних підмножин Qⁿ.

Джерела

• Мінковський Г. Геометрія чисел. Лейпциг, 1911 р. (перевидана в 1996 р.)
• Чеботарьов М.Г. Нотатки з алгебри і теорії чисел. Вчені записки Казанського Університету, 1934. (перевидана в 1994 р.)
• Касселс Дж.В.С. Геометрія чисел. М.: Мир, 1965.
• Колмогоров А.М., Юшкевич А.П. (ред.) Математика XIX століття. М.: Наука.
• Том 1 Математична логіка. Алгебра. Теорія чисел. Теорія ймовірностей. 1978, стор 143-151.
• Грубер П.М., Леккеркеркер К.Г. Геометрія чисел, М.: Наука, 2008. ISBN 5-02-036036-8